1、2.1.3基本不等式的应用新课程标准解读核心素养结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题数学建模、数学运算某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？问题上述问题的实质是什么？如何求解？知识点基本不等式与最值已知x，y都为正数，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，和xy有最小值2；(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，积xy有最大值.利用基本不等式求最值要牢记：“一正”“二定”“三相等”(1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的结果；(2)“二定”，即含变量的各项的和或积必须是定值(常数)如果要求ab的最
2、小值，那么ab必须是定值；要求ab的最大值，ab必须是定值；(3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值 x的最小值是2吗？提示：当x0时，x的最小值是2.当x0时，x没有最小值1已知0x1，则x(33x)取最大值时x的值为()A.BC. D解析：选A0x0，x(33x)3x(1x)3，当且仅当x1x，即x时取等号故当x时，x(33x)取得最大值2(2021德州一中月考)设x0，则y33x的最大值为_解析：x0，3x2，2，y33x32，当且仅当3x，即x时等号成立故y有最大值为32.答案：32构造基本不等式求最值例1(1)已知x，求y4x2的最大值；(2)已知0
3、x，求yx(12x)的最大值；(3)当x0时，求函数y的最大值解(1)x，54x0，y4x23231，当且仅当54x，即x1时，等号成立，故当x1时，ymax1.(2)0x，12x0，y2x(12x)，当且仅当2x12x，即x时，ymax.(3)x0，1，当且仅当x，即x1时取等号故函数y的最大值为1.构造基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值常见的变形方法有拆、并、配(1)拆裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；(2)并分组并项：目的是分
4、组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；(3)配配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值 跟踪训练13x2的最小值是()A33B3C6 D63解析：选D3x23(x21)3232363，当且仅当x21时等号成立，故选D.2已知a0，b0，则4ab的最小值是()A2 B2C4 D5解析：选Ca0，b0，4ab2424，当且仅当即a，b1时，等号成立，此时4ab取得最小值4.利用基本不等式求
5、条件最值例2已知x0，y0，且1，求xy的最小值解x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，xy的最小值为16.母题探究1(变条件)本例条件变为“x0，y0，2x8yxy”，其余不变，求xy的最小值解：由2x8yxy0，得y(x8)2x.x0，y0，x80，y，xyxx(x8)102 1018.当且仅当x8，即x12时，等号成立，xy的最小值是18.2(变条件，变设问)本例条件变为“xy1，x0，y0”，试求的最小值解：由(xy)1010216，当且仅当9x2y2即y3x，得x，y时，取“”，的最小值为16.1常值代换法求最值的方法步
6、骤常值代换法适用于求解条件最值问题应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值2若常值代换法不适用于条件最值时，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值 跟踪训练1已知x0，y0且xy1，则pxy的最小值为()A3 B4C5 D6解析：选Cpxy3325，当且仅当xy时等号成立2若a0，且ab0，则a1的最小值为_解析：由ab0，且a0，得ba，0，所以a1a13，当且仅当a1，b1时
7、取等号答案：3利用基本不等式解应用题例3(链接教科书第40页例9、例10)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价 解设隔墙的长度为x m，总造价的函数为y元，则隔墙造价为2x248496x元，池底造价为2008016 000元，四周围墙造价为400800元因此，总造价为y496x80016 000(0x50)1 296x16 0002 16 00028 80016 0
8、0044 800.当且仅当1 296x，即x时，等号成立这时，污水池的长为18 m.故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元求实际问题中最值的解题4步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出等量关系式；(2)把实际问题抽象成符合基本不等式的最大值或最小值问题；(3)利用基本不等式求最值；(4)正确写出答案 跟踪训练用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积解：设矩形菜园的长和宽分别为x m，y m，x0，y0，面积为S m2，由题意得2(xy)36，xy18.x0，y0，Sxy81，当且仅当xy9时取“”，当长和宽都为9 m时，菜园面积
9、最大，最大面积为81 m2.1(多选)已知a0，b0，ab2，则对于()A取得最值时a B最大值是5C取得最值时b D最小值是解析：选AD因为ab2，令y22，当且仅当，且ab2，即a，b时，取“”2已知实数x，y满足x0，y0，且1，则x2y的最小值为()A2 B4C6 D8解析：选Dx0，y0，且1，x2y(x2y)442 8，当且仅当，1，即x4，y2时等号成立3.(x1)的最小值为_解析：令y，则yx1(x1)2222328，当且仅当x1，即x4时等号成立故(x1)的最小值为8.答案：84某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，且x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案：58