1、第1讲导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数1导数与导函数的概念知 识 梳 理(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数记作f(x)或y.2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在
2、点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k_f(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f(x)c(c为常数)f(x)_ f(x)x(Q*)f(x)_ f(x)sin x f(x)_ f(x)cos x f(x)_ f(x)ex f(x)_ f(x)ax(a0，a1)f(x)_ f(x)ln x f(x)_ f(x)logax(a0，a1)f(x)_ 0 x1 cos xsin xex axln a 1x1xln a4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug
3、(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于_的导数与_的导数的乘积f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)f（x）g（x）_(g(x)0)f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2yuux y对uu对x1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(3)已知曲线yx3，则过点P(1，1)的切线有两条()(4)物体的运动方程是s4t216t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t2.()(5)f(axb)f(axb)()诊 断 自 测2(2014新课标全国卷)设曲线yaxln(x1
4、)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1 C2 D3答案 D解析 ya 1x1，由题意得 y|x02，即 a12，所以 a3，故选 D.3(2015保定调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()答案 CAe Be C.1eD1e解析 yln x 的定义域为(0，)，且 y1x，设切点为(x0，ln x0)，则 y|xx0 1x0，切线方程为 yln x0 1x0(xx0)，因为切线过点(0，0)，所以ln x01，解得 x0e，故此切线的斜率为1e.4设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_答案 2解析 设 ext，则 xln t(t0)
5、，f(t)ln tt，f(t)1t1，f(1)2.5(2014江西卷)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_ 解析 由题意得yex，设P(x0，y0)，直线2xy10的斜率为2，所以，ex02，解得x0ln 2，所以ex02y0.故P(ln 2，2)答案(ln 2，2)考点一 导数的运算【例1】分别求下列函数的导数：(1)yexcos x；(2)yxx21x 1x3；(3)yxsin x2cos x2；(4)yln 1x2.解(1)y(ex)cos xex(cos x)excos xexsin x.(2)yx31 1x2，y3x2 2x3.(3)yxsin x2cos
6、 x2x12sin x，yx12sin x 112cos x.规律方法(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元(4)yln 1x212ln(1x2)，y1211x2(1x2)1211x22xx1x2.【训练1】分别求下列函数的导数：(1)y11 x11 x；(2)ysin2x2；(3)yln（2x1）x.解(1)y11 x11 x 21x，y02（1x）（1x）22（1x）2.(
7、2)ysin2x212(1cos x)1212cos x，y12(cos x)12(sin x)12sin x.(3)yln（2x1）xln（2x1）xxln（2x1）x2（2x1）2x1xln（2x1）x22x2x1ln（2x1）x22x（2x1）ln（2x1）（2x1）x2.考点二 导数的几何意义及其应用【例2】已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程 解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2
8、)的切线相切于点P(x0，x304x205x04)，f(x0)3x208x05，切线方程为 y(2)(3x208x05)(x2)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解又切线过点 P(x0，x304x205x04)，x304x205x02(3x208x05)(x02)，A2xy40 B2xy0Cxy30 Dx
9、y10(2)设a为实数，函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)，且f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为()Ay3x1 By3xCy3x1 Dy3x3【训练 2】(1)(2015云南统一检测)函数 f(x)ln x2xx在点(1，2)处的切线方程为()即xy30.(2)f(x)3x22ax(a3)，又f(x)为偶函数，则a0，所以f(x)x33x，f(x)3x23，故f(0)3，故所求的切线方程为y3x.答案(1)C(2)B解析(1)f(x)1ln xx2，则 f(1)1，故函数 f(x)在点(1，2)处的切线方程为 y(2)x1，考点三 导数几何意义的综合应用【例
10、3】(2014北京卷)已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只需写出结论)解(1)由 f(x)2x33x 得 f(x)6x23.令 f(x)0，得x 22 或 x 22.因为 f(2)10，f 22 2，f 22 2，f(1)1，所以 f(x)在区间2，1上的最大值为 f 22 2.(2)设过点 P(1，t)的直线与曲线 yf(x)相切于点(x0，y0)，则 y02x303x0，且切线斜率为 k6x
11、203，所以切线方程为 yy0(6x203)(xx0)，因此 ty0(6x203)(1x0)整理得 4x306x20t30.设 g(x)4x36x2t3，则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”g(x)12x212x12x(x1)于是，当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)0 0 g(x)t3 t1 所以，g(0)t3是g(x)的极大值；g(1)t1是g(x)的极小值当g(0)t30，即t3时，此时g(x)在区间(，1和(1，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(1
12、)t10，即t1时，此时g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分别在区间1，0)，0，1)和1，2)上恰有1个零点由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)(3)过点A(1，2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线yf(x)相切规律方法 解决本题
13、第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根，构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可；第(3)问类比第(2)问方法即可【训练3】设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值解(1)对于 C1：yx22x2，有 y2x2，对于 C2：yx2axb，有 y2xa，设 C1 与 C2 的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即 4x202(a2)x0
14、2a10.又点(x0，y0)在 C1 与 C2 上，故有y0 x202x02，y0 x20ax0b2x20(a2)x02b0.由消去 x0，可得 ab52.(2)由(1)知：b52a，aba52a a5422516.当 a54时，(ab)最大值2516.思想方法1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导易错防范1利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)nxn1与指数函数的求导公式(ax)axln x混淆2直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点3曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y0是曲线yx3在点(0，0)处的切线