1、如果 a(a0,a1)的 b 次幂等于 N,即 ab=N,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b,其中 a 叫做对数的底数,N叫做真数,式子 logaN 叫做对数式.三、对数恒等式1.负数和零没有对数;2.1 的对数是零,即 loga1=0;3.底的对数等于 1,即logaa=1.二、对数的性质 一、对数 自然对数:(lnN).常用对数:(lgN),alogaN=N(a0 且 a1,N0).函数 y=logax(a0,且 a1)叫做对数函数,对数函数的定义域为(0,+),值域为(-,+).如果 a0,a1,M0,N0,那么:四、对数的运算性质 五、对数函数(1)loga
2、(MN)=logaM+logaN;(2)loga=logaM-logaN;MN(3)logaMn=nlogaM.六、对数函数的图象和性质 图象性质(1)定义域:(0,+)(2)值域:R(3)过点(1,0),即 x=1 时,y=0.(4)在(0,+)上是增函数.(4)在(0,+)上是减函数.yox(1,0)x=1y=logax(a1)a1yox(1,0)x=1y=logax(0a1)0a1七、换底公式 换底公式在对数运算中的作用:课堂练习BAlogbN=logaN logablog bn=logab;amnmlogab=.logba1 1.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b,则 f(-
3、a)等于()1-x1+xb1A.bB.-bC.D.-b12.若函数 f(x)=logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 等于()A.B.C.D.12142422D 3.对于 0a1,给出下列不等式,能成立的是()loga(1+a)loga(1+);a1+aa1+.1a1aa1a1A.B.C.D.A4.若 0alogb30,则()A.0ab1 B.1abC.0ba1 D.1baB6.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在0,1上的最大值与最小值之和为a,则 a 的值为()A.B.C.2 D.41214D7.若 1 logbaB.|logab+logba|2 C.
4、(logba)2|logab+logba|10.方程 lg(4x+2)=lg2x+lg3 的解是.x=0 或 1 8.设 a,b,c 都是正数,且 3a=4b=6c,那么()A.=+B.=+C.=+D.=+b1a1c1b2a2c2b1c1a2b2c2a1B9.若(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y,则()A.x-y0 B.x+y0 C.x-y0 D.x+y0B1.化简下列各式:(1)(lg5)2+lg2lg50;=1.解:(1)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5)=(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5=(lg5+lg2)2=1.典型例题(3)
5、lg5(lg8+lg1000)+(lg2 )2+lg +lg0.06.316(3)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2=3lg5lg2+3lg5+3lg22-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=1.(2)2(lg 2)2+lg 2 lg5+(lg 2)2-lg2+1;=lg 2+1-lg 2=lg 2(lg2+lg5)+(1-lg 2)(2)原式=lg 2(2lg 2+lg5)+(lg 2-1)2解:由 1ab1,0n0,logn4logn4,可分情况讨论如下:m1n0;log4mm1;2.已知 1ablogn4,比较 m,n 的大小
6、.loga0,logb1.baba 0log alog b,babaloga logbb=,1212 logablogba logbloga.12baba当 m1,n1 时,由 logm4logn40 得:当 0m1,0nlogm4logn4 得:log4mlog4n.0mn1n0 或 nm1 或 0mn1.0logba0,y0,x-2y0,x2y0.lgx+lgy=2lg(x-2y),lg(xy)=lg(x-2y)2.xy=(x-2y)2.x2-5xy+4y2=0.(x-y)(x-4y)=0.x=y(舍去)或 x=4y.yx=4.yx2 log =log 4=4.27.已知 ab1,且 3l
7、gab+3lgba=10,求 lgab-lgba 的值.解:注意到 lgablgba=1,又已知 lgab+lgba=,310(lgab-lgba)2=(lgab+lgba)2-4lgablgba=-4=.9 100 964ab1,lgab-lgba0,即 at2-t0at(t-)0.1aa0,t0,t 时,函数有意义.1a又 u(t)=at2-t(t )是以直线 t=为对称轴的抛物线,1a2a1且有 t ,即区间(,+)在对称轴的右侧,2a11a1au(t)在区间(,+)上单调递增.1a要使原函数在区间 2,4 上是增函数,应有:a1 且1.存在实数 a,只须 a(1,+)即可满足要求.8.
8、是否存在实数 a,使得 f(x)=loga(ax-x)在区间 2,4 上是增函数?若存在,求出 a 的取值范围.解:令 t=x,则 t 2,2,解:(1)a1,x1,两式相加解得 x=(ay+a-y).12f(x)的反函数 f-1(x)=(ax+a-x)(x0).129.已知 a1,f(x)=loga(x+x2-1)(x1),(1)求函数 f(x)的反函数 f-1(x);(2)试比较 f-1(x)与 g(x)=(2x+2-x)的大小.12 x+x2-1 1.y=loga(x+x2-1)0.y=loga(x+x2-1),-y=loga(x-x2-1).x+x2-1=ay,x-x2-1=a-y.若
9、 x0,则当 1a2 时,f-1(x)0 时,f-1(x)-g(x)=(ax+a-x)-(2x+2-x)121222xax(ax-2x)(2xax-1)=.=(ax-2x)+(-)1212x1ax x0,a1,2xax1.当 1a2 时,ax2x,f-1(x)-g(x)0,f-1(x)2 时,ax2x,f-1(x)-g(x)0,f-1(x)g(x).综上所述,若 x=0,则 f-1(x)=g(x);当 a=2 时,f-1(x)=g(x);当 a2 时,f-1(x)g(x).9.已知 a1,f(x)=loga(x+x2-1)(x1),(1)求函数 f(x)的反函数 f-1(x);(2)试比较 f
10、-1(x)与 g(x)=(2x+2-x)的大小.12补充例题1.解方程:x+log2(2x-31)=5.2.设a,b分别是方程 log2x+x-3=0和2x+x-3=0 的根,求a+b的值.x=5 a+b=3.3.已知函数 f(x)=loga(0a0,a1),当 0 x11时,“”;0a1时,“1,mR,x=logst+logts,y=logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s).(1)将 y 表示为 x 的函数 y=f(x),并求出 f(x)的定义域;(2)若关于x 的方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 m 的取值范围.(1)f(x)=x4+(m-4)x2+2(1-m),其定义域为2,+);(2)(-,-1.(注意:x24)