1、第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.1.2集合的表示目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合重点 集合的两种表示方法及其运用难点 对描述法表示集合的理解知识点一列举法填一填把集合的所有元素出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序答一答1实数集也可以写成实数，那么能写成实数集或全体实数吗？提示：不能，因为花括号“”表示“所有、全部”的意思2列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的
2、无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为1,2,3,4,5，3集合(1,2)与(2,1)是否为相等集合？提示：不是知识点二描述法填一填1一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征 P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x)，这种表示集合的方法称为描述法2具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.答一答3集合x|x3与集合t|t3表示同一个集合吗？提示：是同一个集合虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合类型一用列举法表示
3、集合例1(1)若集合A(1,2)，(3,4)，则集合A中元素的个数是(B)A1B2C3 D4(2)用列举法表示下列集合不大于10的非负偶数组成的集合；方程x2x的所有实数解组成的集合；直线y2x1与y轴的交点所组成的集合；方程组的解解析(1)集合A(1,2)，(3,4)中有两个元素(1,2)和(3,4)(2)解：因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是0,2,4,6,8,10方程x2x的解是x0或x1，所以方程的解组成的集合为0,1将x0代入y2x1，得y1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是(0,1)解方程组得用列举法表示方程组的解
4、集为(0,1)用列举法表示集合应注意的三点：(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；(2)集合中的元素一定要写全，但不能重复；(3)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.变式训练1用列举法表示下列集合：(1)15的正约数组成的集合；(2)所有正整数组成的集合；(3)直线yx与y2x1的交点组成的集合解：(1)1,3,5,15(2)正整数有1,2,3，所求集合用列举法表示为1,2,3，(3)方程组的解是所求集合用列举法表示为(1,1)类型二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合：(1)不等式2x-73的解集A；(2)二次函数yx21的函数值组成的
5、集合B；(3)被3除余2的正整数的集合C；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D.分析先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面解(1)解2x73得x5，所以Ax|x3(4)先统一形式，找出规律，集合表示为.类型三两种方法的灵活应用例3用适当的方法表示下列集合：(1)方程组的解组成的集合；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线yx2上的所有点组成的集合分析(1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示解(1)解方程组得故该集合用列举法可表示为(4
6、，2)(2)设集合的代表元素是x，则该集合用描述法可表示为x|x3k2，kN，且k332(3)集合用描述法表示为x|x是正方形或正方形(4)集合用描述法表示为(x，y)|yx2当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为1，3，5，7，9，.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)变式训练3用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；(2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的
7、点的集合解：(1)用描述法表示为x|2x5，且xQ(2)用列举法表示为1,2,3,4,6,8,12,24(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为(x，y)|y|x|1集合xN|x5的另一种表示方法是(A)A0,1,2,3,4B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5解析：xN，且x5，x的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为0,1,2,3,42.方程组的解集是(C)Ax1，y1 B1C(1,1) D(x，y)|(1,1)解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D中的条件是点(1,1)，不含x
8、，y，排除D.3.集合x|x，a36，xN，用列举法表示为0,1,2,3,4,5.解析：由a36，可得6，即x6，又xN，故x只能取0,1,2,3,4,5.4.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为x|x2n，nN解析：正整数中所有的偶数均能被2整除5.用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合Px|x2n,0n2，且nN；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)x24的一次因式组成的集合；(4)由方程组的解所组成的集合解：(1)用列举法表示为P0,2,4(2)可用列举法表示为6,9,12；也可用描述法表示为x|x3n,4x0，且1A，则实数a的取值范围是_a2_.解析因为
9、1A，则应有21a0，所以a2.三、解答题10用列举法表示下列集合：(1)；(2)(x，y)|y3x，xN且1x5解析(1)因为Z，所以|2x|是6的因数，则|2x|1,2,3,6，即x1,3,4,0，1,5，4,8.所以原集合可用列举法表示为4，1,0,1,3,4,5,8(2)因为xN且1x5，所以x1,2,3,4，其对应的y的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)11用描述法表示下列集合(1)2,4,6,8,10,12；(2)，；(3)被5除余1的正整数集合；(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(5)方程组的解组成的
10、集合解析(1)x|x2n，nN*，n6(2)x|x，nN*，n5(3)x|x5n1，nN(4)(x，y)|xy0(5)或.B组素养提升一、选择题1方程组的解集是(C)Ax1，y1B1C(1，1)D(x，y)|(1，1)解析方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D的集合表示方法有误，排除D2用列举法可将集合(x，y)|x1,2，y1,2表示为(D)A1,2B(1,2)C(1,1)，(2,2)D(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)解析x1，y1；x1，y2；x2，y1；x2，y2.集合(x，y)|x1,2，y1,2表示为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，故选D3
11、(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为(BD)Ax|x2k1，kNBx|x2k1，kN，k2Cx|x2k3，kNDx|x2k5，kN解析选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4.4(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是(ABD)AM3，1，P(3，1)BM(3,1)，P(1,3)CMy|yx21，xR，Px|xt21，tRDMy|yx21，xR，P(x，y)|yx21，xR解析选项A中，M是由3，1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，1)构成的集合；选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故MP；选项D中，M是二次函数yx21，xR的所有因变量组成的集合，而集合P是二
12、次函数yx21，xR图象上所有点组成的集合故选ABD二、填空题5若集合Ax|ax22x10，aR中只有一个元素，则实数a的值是_0或1_.解析集合A中只有一个元素，有两种情况：当a0时，由0，解得a1，此时A1，满足题意；当a0时，x，此时A，满足题意故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1.6用列举法写出集合_3，1,1,3_.解析Z，xZ，3x为3的因数3x1，或3x3.3，或1.3，1,1,3满足题意7设A，B为两个实数集，定义集合ABx|xx1x2，x1A，x2B，若A1,2,3，B2,3，则集合AB中元素的个数为_4_.解析当x11时，x1x2123或x1x2134；当x12时，x1
13、x2224或x1x2235；当x13时，x1x2325或x1x2336.AB3,4,5,6，共4个元素三、解答题8集合Ax|kx28x160，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A解析(1)当k0时，原方程为168x0，所以x2，此时A2(2)当k0时，因为集合A中只有一个元素，所以方程kx28x160有两个相等的实根则6464k0，即k1.从而x1x24，所以集合A4，综上所述，实数k的值为0或1.当k0时，A2；当k1时，A49已知集合Ax|ax23x20(1)若A中只有一个元素，求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围解析(1)因为集合A是方程ax23x20的解集，则当a0时，A，符合题意；当a0时，方程ax23x20应有两个相等的实数根，则98a0，解得a，此时A，符合题意综上所述，当a0时，A，当a时，A(2)由(1)可知，当a0时，A符合题意；当a0时，要使方程ax23x20有实数根，则98a0，解得a且a0.综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a.