1、2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（辽宁卷）数学（理科）考生注意事项：1 答题前，务必在试题卷答题卡规定填写自己的姓名座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位2 答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3 答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷
2、草稿纸上答题无效4 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交参考公式：椎体体积，其中为椎体的底面积，为椎体的高若（x，y），（x，y），（x，y）为样本点，为回归直线，则 ，说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算第卷一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则集合是（ ）ABC D2若，则（ ）A BC D3中心在原点，焦点坐标为（0，）的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（ ）AB CD4一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个是女孩的概率是（ ）A BC D5如果执行右面的程序框图，那么输
3、出的（ ） A2400 B2450 C2500 D2550 6已知，则的值是（ ）A B C D7公差不为0的等差数列中，数列是等比数列，且，则（ ）A4 B8 C16 D368已知直线（其中）与圆交于，O是坐标原点，则=（ ） A-2 B-1 C1 D29关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是（ ）A BC D10如图，分别是三棱锥的棱的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A60 B45C0 D12011下列命题中正确的一项是（ ）A“”是“直线与直线相互平行”的充分不必要条件B“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的充分条件C已知，为非零向量，则“”是“”的充要条件D，则，12已
4、知是定义在R上的偶函数，且对任意，都有，当时，则函数在区间上的反函数的值为（ ）A BCD第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答二填空题：本大题共4小题，每小题5分13若实数均不为零，且，则展开式中的常数项等于_14设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且，则该椭圆的离心率为_15在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则_16某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示对呈线性相关关系245683040605070根据上表提供的数据得到回归方程中的，预测销售额为115万元时约
5、需_万元广告费参考公式：回归方程为，其中，三解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）设向量（1）若与垂直，求的值；（2）若，求证：18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧棱（1）求证：平面；（2）若与底面成的角，试求二面角的大小19（本小题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示（1）请先求出频率分布表中位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第345组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第345组
6、每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官面试的概率?20（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为为上任一点，是圆的一条直径，若与平行且在轴上的截距为的直线恰好与圆相切（1）已知椭圆的离心率；（2）若的最大值为49，求椭圆的方程21（本小题满分12分）设函数（1）求函数的极大值；（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数的取值范围请考生在第222324三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑22（本小题满分
7、10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是边长为的正方形，以从为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点F，延长交于（1）求证：是的中点；（2）求线段的长23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程坐标系与参数方程过作倾斜角为的直线l与曲线E：（为参数）交于两点（1）求曲线的普通方程及的参数方程；（2）求的取值范围24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集是非空的集合，求实数的取值范围2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（辽宁卷）数学（理科）一选择题15：CCCBD 610：BDADA 1112：DB二填空题13-672
8、14 15 1615三解答题17（1）b-2c，且a与b-2c垂直即， （2），即即a与b共线 ab18 （1）证：由已知AB=4，AD=2，BAD=60，故BD2=AD2+AB22ADABcos60=4+16224=12又AB2=AD2+BD2，ABD是直角三解形，ADB=90，即ADBD 在PDB中，PD=，PB=，BD=，故得PDBD 又PDAD=D，BD平面PAD （2）由BD平面PAD，BD平面ABCD平面PAD平面ABCD作PEAD于E，又PE平面PADPE平面ABCDPDE是PD与底面ABCD所成的角，PDE=60PE=PDsin60=作EFBC于F，连PF，则PFBCPFE是二
9、面角PBCA的平面角 又EF=BD=，在RtPEF中，故二面角PBCA的大小为19（1）由题可知，第2组的频数为035100=35人第3组的频率为频率分布直方图如图所示（2）因为第345组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人第4组：人第5组：人所以第345组分别抽取3人2人1人（3）设第3组的3位同学为，第4组的2位同学为，第5组的1位同学为则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：，其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为20（）由题意可知直线l的方程为，因为直线与圆相切，所以，即从而（）设圆的圆心记为，则（0），又=j解得c=4，此时椭
10、圆方程为；k当解得 但故舍去综上所述，椭圆的方程为21（1），且，当时，得；当时，得；的单调递增区间为；的单调递减区间为和 故当时，有极大值，其极大值为 （2），当时，在区间内是单调递减 ，此时，不存在 当时，即 此时， 综上可知，实数的取值范围为选做题22（1）证明：连接DF，DO，则CDO=FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以，即CDO=BCE故RtCDORtBCE，所以所以E是AB的中点（2）连接BF，BEF=CEB，ABC=EFBFEBBEC，得ABCD是边长为a的正方形 23（1）消去参数，可得曲线E的普通方程为由条件可得L的参数方程为（t为参数）（2）将L的参数方程代入由曲线E的方程得由，得又由于倾斜角满足，24（1），令得，所以不等式的解集是（2）在上递减，上递增，所以，由于不等式的解集是非空的集合，所以，解之，即实数的取值范围是：