1、2020级绵阳二诊理科数学模拟试题（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（）ABCD2“直线与直线相互垂直”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知正数x，y满足：（），则下列关系式恒成立的是（）ABC（）D4已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD5人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的
2、等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）A1倍B10倍C100倍D1 000倍6的展开式中含项的系数为（）A10B12C4D57下列说法中，正确的命题的是（）A一台晩会有6个节目，其中有2个小品，如果2个小品不连续演出，共有不同的演出顺序240种B以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3C若事件与事件互斥，则事件与事件独立D若样本数据，的方差为2，则数据，的方差为168若离散型随机变量X的分布列如下，若，则=（）X-1012PabcABCD9若函数有最小值，则实数的取值范围是（）ABCD10蒙特卡罗方法（
3、Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法某同学根据蒙特卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率的值，每次用计算机随机在区间内取两个数，共进行了2000次实验，统计发现这两个数与3能构成以3为最长边的钝角三角形的情况有565种，则由此估计的近似值为（）A3.15B3.14C3.13D3.1211已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）ABCD12对于函数，给出下列四个命题：（1）该函数的值域是；（2
4、）当且仅当时，该函数取最大值；（3）该函数的最小正周期为；（4）当且仅当时，；其中所有正确命题个数是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13是虚数单位，复数的虚部是_.14已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影为_15已知数列的各项互异，且，（），则_.16已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有_直线l：是曲线和的公切线：曲线和的公切线有且仅有一条；最小值为；当轴时，最小值为.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第
5、22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列的首项，且.(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求使不等式成立的最小正整数n.18当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻. 为进一步增强学生的防控意识，让全体学生充分了解新冠肺炎疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，平罗中学组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100，制成如图所示的频率分布直方图(1)求图中a的值；(2)试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（
6、结果保留整数）；(3)用分层抽样的方法从问答成绩在70，100内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在70，80)，80，90)，90，100内应各抽取多少人？19在中，内角的对边分别为，且_在；这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答(1)求角的大小；(2)若角的内角平分线交于，且，求的最小值20已知函数讨论函数的极值点的个数；若函数有两个极值点，证明：21在中，已知点与边上的中线长之和为6.记的重心的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)若圆，过坐标原点且与轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与曲线的另一个交点分别是点，求面积的最大值.（二）选考题：共10分请考生在第22、
7、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22已知的极坐标方程为，以极点O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，(1)求的直角坐标方程，(2)过作直线l交圆于P，Q两点，且，求直线l的斜率23已知(1)解不等式(2)记的最小值为m，若，求的最小值1A【分析】利用整数集的概念化简集合，再利用代入检验集合中元素与集合的关系，从而求得.【详解】因为，当时，满足，故；当时，满足，故；当时，不满足，故；所以.故选：A.2B【分析】根据两直线垂直，求出的值，则可判断充分性和必要性.【详解】因为直线与直线相互垂直，所以，所以当时，直线与直线相互垂直，而当直线与直线相互垂直时，不一定成立
8、，所以“直线与直线相互垂直”是“”的必要而不充分条件，故选:B3D【分析】由对数函数的单调性可得，根据正弦函数的性质可判断A，根据不等式的性质可判断BCD.【详解】由（）得,因为正弦函数为周期函数，故的大小无法确定，故A错误，由得,故B错误，因为，所以，当时，故C错误，因为，所以，故D正确，故选：D4C【分析】根据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知双曲线中，所以，双曲线焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故选：C.5B【分析】利用对数运算即可求解.【详解】设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为，根据题意得，解得，解得，所以因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音
9、强度的10倍.故选: B.6A【分析】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.【详解】的二项展开式的通项为，当时，的展开式中含项为；当时，的展开式中含项为；所以的展开式中含项的系数为.故选：A.7B【分析】根据插空法即可判断选项A，由计算可判断选项B，根据互斥事件和独立事件的概念可以判断选项C，由方差的计算公式可以判断选项D.【详解】A：先把其余4个节目排列，共有5个空，再将2个小品插入5个空，所以共有种不同的方法，故A错误；B：设，求得线性回归方程为，则，故的值分别是和，故B正确； C：若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B不独立，故C错误；D：若样本数据的方差为2，则数据的方差为8，
10、故D错误.故选：B.8D【分析】根据分布列所有概率之和为1，且可得的值，再根据和事件概率的加法公式即可得出结果.【详解】由题意知，；由 ，即，得；由，即整理得联立解得；又因为所以.故选：D.9B【分析】分类讨论与两种情况，结合指数函数的单调性与二次函数的性质，即可求得的取值范围.【详解】因为有最小值，当时，显然在上单调递增，且，即在上没有最小值；当时，易知在上必有最小值，因为开口向上，对称轴为，当时，易知，故不是在上的最小值，则在上没有最小值，不满足题意；当时，要使得是在上的最小值，则，即，解得或，所以；综上：，即.故选：B.10C【分析】根据给定条件画出几何图形，借助几何概型计算作答即可.【
11、详解】设x，y是区间内的任意两个数，于是有，点所在的平面区域是边长为3的正方形OABC的内部，如图，数字x，y与3能构成以3为最长边的钝角三角形，则有点在满足的条件下有，此时点在以O为圆心，OA长为半径的圆在第一象限部分与直线AC所围的阴影区域（不含边界）内，此阴影区域面积，而正方形OABC的面积为，因此，点落在阴影区域内的概率为，因2000次实验中出现“数字x，y与3能构成以3为最长边的钝角三角形”的事件有565次，于是得，解得，所以估计的近似值为3.13.故选：C.11B【分析】由和正弦值，可设出的三边长，结合椭圆定义和勾股定理求出等量关系，利用点的位置求出的范围，代入等式有解，可求出的关
12、系，即可求出离心率的范围.【详解】解： 因为，不妨设，由椭圆定义可知：，由勾股定理可知：，即，化简可得：，点在延长线上，且在椭圆内部，所以，解得：.令在上单调递增，所以，解得：，又，且在椭圆内部，所以，则，.故选B12B【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为，所以，对于（3），所以，函数为周期函数，作出函数的图象（图中实线）如下图所示：结合图形可知，函数的最小正周期为，（3）对；对于（1），由图可知，函数的值域为，（1）错；对于（2），由图可知，当且仅当或时，函数取得最大值，（2）错；对于（4），由图可知，当且仅当时，（4）对.故选：B.13【分析】由复数模的
13、定义和复数的除法法则计算【详解】虚部为-2.故答案为：14#【分析】由得，计算在方向上的投影即可.【详解】因为，为单位向量所以，又因为，所以，即，在方向上的投影为，故答案为：.152【分析】由得，利用裂项相消求和即可【详解】由题意，得，则，即，所以.故答案为：216【分析】对于利用导数的几何意义即可求解；对于，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于，利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于，先设动点的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可.【详解】解：选项，对于曲线，当时
14、，故直线与曲线相切与点；联立，可得，故此时直线与切于点，故直线l：是曲线和的公切线，故正确；对于，设公切线分别与切于点，则曲线的切线为：，曲线的切线为，根据与表示同一条直线，则有，解得，令，则有，可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，则有，根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线故曲线和的公切线有且仅有2条，故错误；对于，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，故有：，设点的坐标为：，则有：，令，可得，再次求导可得：，故在上单调递增，又，可得：当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增；故，则，故，故正确；对于，当轴时，设，则，则有：，记，则有，令，解得：，故当时，
15、在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；故有，故，故选项正确.故答案为：.17(1)证明见解析(2)11【分析】（1）根据递推公式变换可知数列是以为首项，公比为的等比数列；（2）根据，然后利用等差数列求和公式求解.【详解】（1）解：由题意得：根据，得：可知数列是以为首项，公比为的等比数列.（2）.解得或，又使不等式成立的最小正整数n为11.18(1)(2)中位数为73，平均数为72(3)12,10,2【分析】（1）直接利用频率和为1计算得到答案.（2）直接利用平均数和中位数的公式计算即可.（3）根据分层抽样的比例关系计算得到答案.【详解】（1），解得.（2），故中位数为.平均数为.（3），7
16、0，80)，80，90)，90，100内应各抽人数分别为：，.19(1)(2)【分析】（1）若选：利用正弦定理边化角，结合诱导公式可求得，进而得到；若选：根据三角形面积公式和平面向量数量积定义可构造方程求得，进而得到；若选：根据两角和差正切公式化简已知等式可求得，由可求得，进而得到；（2）根据，利用三角形面积公式化简可得，由，利用基本不等式可求得最小值.【详解】（1）若选条件，由正弦定理得：，则，又，.若选条件，由得：，则，又，.若选条件，由得：，即，又，.（2），即，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.20(1)见解析 (2)见解析【分析】先求出函数的导函数，通过讨论a的范围确定导函数的符
17、号，从而得出函数的单调区间，进而判断函数极值点个数；由可知当且仅当时有极小值和极大值，且，是方程的两个正根，则，根据函数表示出，令，通过对求导即可证明结论【详解】解：函数， ，当时，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，有极小值；当时，故，在上单调递减，故此时无极值；当时，方程有两个不等的正根，可得，则当及时，单调递减；当时， ；单调递增；在处有极小值，在处有极大值综上所述：当时，有1个极值点；当时，没有极值点；当时，有2个极值点由可知当且仅当时有极小值点和极大值点，且，是方程的两个正根，则，；令，；，在上单调递减，故，【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，注意分类讨论思想的运用，
18、属于难题21(1)(2)【分析】（1）由三角形的重心性质得，进而结合椭圆定义即可得答案；（2）由题意知直线的斜率存在且不为，不妨设直线PE的斜率为，则，进而与椭圆联立方程得，再用代替，可得，进而得，再设，并结合基本不等式求解即可；【详解】（1）解：根据三角形重心的性质及已知条件，得，曲线C是以为焦点，长轴长的椭圆（不含x轴上的两点）由，得的方程为；（2）解：法一因为，由题意知直线的斜率存在且不为，不妨设直线PE的斜率为，则.由，解得或，用代替，可得，设，由，可得，当且仅当，即时，取等号，令，函数在上递增，当时，取等号，面积的最大值为.法二设，易知斜率存在，设直线为由得，得，即整理得：，（舍去）
19、与轴交于设在时单调递减，当，即时，22(1)(2)或【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解；（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（t为参数），代入圆方程中化简，利用根与系数的关系，结合已知和参数的几何意义即可求解.【详解】（1）解：因为的极坐标方程为：，且，所以，故的直角坐标方程为.（2）解：设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（t为参数），与联立，得点P对应的参数为，点Q对应的参数为，则，因为，所以，联立可得，解得：，所以直线的斜率为或.23(1)(2)【分析】（1）分别讨论，三种情况，即可求出不等式的解集；（2）先由绝对值三角不等式求出，再由均值不等式，根据题中条件，即可求出结果【详解】（1）当时，原不等式化为，即，解得；时，不等式成立；当时，原不等式化为，即，无解；时，不等式不成立当时，原不等式化为，即，解得；时，不等式成立综上，不等式的解集为（2）（当且仅当时“=”成立）即，由均值不等式可得：，当且仅当，即，时“=”成立，因此，即z的最小值是