1、一、映射如果按照某种对应法则 f,对于集合A中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这种对应叫做集合A到集合 B 的映射,记作 f:AB.二、一一映射如果 f:AB 是集合A到集合 B 的映射,对于集合A中的不同元素,在集合 B 中有不同的象,且 B 中的每一个元素都有原象,那么这种映射叫做一一映射.若 aA,bB,且 a 和 b 对应,则称 b 是 a 的象,a 是 b 的原象.三、函数设A,B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则 f,对于集合A中的任何一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应,那么称 f:AB 为集合A到 B 的一个函数.变量 x 叫做自变量
2、,x 取值的集合A叫做函数的定义域;与 x 的值对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:表示函数的对应法则有解析法、列表法与图象法,其中解析法是最基本、最重要的方法,中学数学学习的函数基本上都能用解析法表示.四、函数的三要素1.对应法则若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数叫做分段函数.若一个函数的自变量又是另一个变量的函数:y=f(u),u=g(x),即 y=fg(x),这种函数叫做复合函数.对应法则、定义域、值域是函数的三要素,其中起决定作用的是对应法则和定义域.2.定义
3、域自然型:指使函数的解析式有意义的自变量 x 取值的集合(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中的重点,往往也是难点,有时这种限制比较隐蔽,容易出错;实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量 x 的实际意义.3.值域配方法(将函数转化为二次函数);判别式法(将函数转化为二次方程);不等式法(运用不等式的各种性质);中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域:注:运用初等方法求函数的值域经常要对函数的解析式进行变换,但必须保证变换的等价性.否则可能引起所求值域的扩大或
4、缩小.另外,求函数的值域必须认真考察函数的定义域,如果定义域是闭区间,则先求得函数的最大值,最小值,得函数的值域.函数法(运用有关函数的性质,或抓住函数的单调性、函数图象等).1.求下列函数的定义域:典型例题2.已知函数 f(x)的定义域为-,求函数 y=f(x2-x-)的定义域.1212123.已知函数 f(x)的定义域是 a,b,且 a+b0,求下列函数的定义域:(1)f(x2);(2)g(x)=f(x)-f(-x);(3)h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m0).4.当 k 为何值时,函数 y=lg(kx2+4kx+3)的定义域为 R?又当 k为何值时,值域为 R?(,1)(1,)(
5、,2321232-5,-)(-,)(,5 232322值域为 R 时,定义域又如何?(1)y=+(3-2x)0;2x-x2lg(2x-1)(2)y=25-x2 +lgcosx.,01,1-521+5 23.(1):3.(2):a,-a(a0 时原式不定义函数)3.(3):a+m,b-m(m 时,原式不定义函数)b-a24.当 k 为何值时,函数 y=lg(kx2+4kx+3)的定义域为 R?又当 k为何值时,值域为 R?0k0,求下列函数的定义域:(1)f(x2);(2)g(x)=f(x)-f(-x);(3)h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m0).-b,b(a0 时);-b,-a a,b
6、(a0 时).5.求函数 y=loga(ax-k2x)(a0 且 a1)的定义域.解:要使函数有意义,必须 ax-k2x0,得:()k(a0 且 a1).a2x(1)若 k0,()0,xR;a2x 当 a=2 时,若 k1,则 xR;若 k1,则 x 不存在.综上所述:当 k0 或时,定义域为R;0k0 0a0 a2 a2(2)若 k0,当 a2 时,xlog k;a2 当 0a2 且 a1时,x0 且,1),请把 y 表示成 x 的函数并求其定义域和值域.解:原方程即为:lg2z-2lgz+3x=0(x0).由已知可得:=4-12x0,x 且 x0.13lg+lg=2,lglg=3x,y=log+log=+lglglglg(lg+lg)2-2lglglglg=.3x4-6x即 y=-2,3x4其定义域为(-,0)(0,;13其值域为(-,-2)2,+).