1、KS5U2012年福建省高考压轴卷 数学理本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题），第卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用05毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的
2、题号涂黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式： 样本数据、的标准差：，其中为样本平均数；柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；球的表面积、体积公式：，其中为球的半径.第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数和复数，则为( ) A B C D 2. 已知为等差数列，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方
3、形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为（ ） （A）12 （B）24（C）36（D）48 4. 已知是直线，是平面，且，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是第6题图A. B. C. D. 6. 函数在区间恰有2个零点，则的取值范围为( )A B C D 7. 若，且，则的夹角为( )A30 B60 C120 D150 8. 已知为坐标原点，点的坐标为（），点的坐标、满足不等式组. 若当且仅当时，取得最大值，则的取值范围是 (
4、 )A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 若为坐标原点,则与直线上一点的“折线距离”的最小值是（ ）A. B. C.2 D. 4 10. 已知，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有 （）AB C D 第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分将答案填在答题卡的相应位置.11. 若集合M=,集合N=，则实数的值的个数是_ 12. 在区间-3，5上随机取一个数x，则1，3的概率为_ 13. 记的展开式中第k项的系数为=_ 14. 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么
5、双曲线的离心率是_ 15. 洛萨科拉茨（Lothar Collatz,191076-1990926）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1对科拉茨（Lothar Collatz）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则的所有可能的取值为_ 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答
6、应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)工人在包装某产品时不小心将两件不合格的产品一起放进了一个箱子，此时该箱子中共有外观完全相同的六件产品.只有将产品逐一打开检验才能确定哪两件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废.记表示将两件不合格产品全部检测出来后四件合格品中报废品的数量.()求报废的合格品少于两件的概率；()求的分布列和数学期望.17(本小题满分13分)已知函数() 求函数的单调递增区间；() 已知中，角所对的边长分别为，若，求的面积18.（本小题满分13分）已知椭圆（常数、，且）的左右焦点分别为，M、N为短轴的两个端点,且四边形F1MF2N是边长为
7、2的正方形()求椭圆方程；()过原点且斜率分别为k和k（k2）的两条直线与椭圆的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），求四边形ABCD的面积S的最大值19. （本小题满分13分）在四棱锥中，侧面底面，底面是直角梯形，=90,，.()求证：平面；()设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角的大小为45.20（本小题满分14分）设函数， ()求的极值；()设，记在上的最大值为，求函数的最小值；（）设函数（为常数），若使在上恒成立的实数有且只有一个，求实数和的值21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题
8、记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修42:矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成. 求矩阵M（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（为参数），曲线与交于M，N两点，求M，N两点间的距离（3）（本小题满分7分）选修45：不等式选讲不等式对任意实数t恒成立，试求实数x的取值范围KS5U2012年福建省高考压轴卷 数学理答案第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每
9、小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数和复数，则为( ) A B C D解析：A；2. 已知为等差数列，若，则（ ） A. B. C. D. 解析：B；5. 在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为（ ） （A）12 （B）24（C）36（D）48解析：；4. 已知是直线，是平面，且，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：B；5. 一个几何体的三视图如
10、图所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是第6题图A. B. C. D. 解析：A；6. 函数在区间恰有2个零点，则的取值范围为( )A B C D解析：B；7. 若，且，则的夹角为( )A30 B60 C120 D150解析：A；8. 已知为坐标原点，点的坐标为（），点的坐标、满足不等式组. 若当且仅当时，取得最大值，则的取值范围是 ( )A. B. C. D.解析：D；9. 在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 若为坐标原点,则与直线上一点的“折线距离”的最小值是（ ）A. B. C.2 D. 4解析：A；10. 已知，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有 （）AB
11、 C D 解析：B；第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分将答案填在答题卡的相应位置.11. 若集合M=,集合N=，则实数的值的个数是_ 解析：4.12. 在区间-3，5上随机取一个数x，则1，3的概率为_ 解析：. 13. 记的展开式中第k项的系数为=_ 解析：6.14. 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是_ 解析：15. 洛萨科拉茨（Lothar Collatz,191076-1990926）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即
12、）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1对科拉茨（Lothar Collatz）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则的所有可能的取值为_ 解析：.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)工人在包装某产品时不小心将两件不合格的产品一起放进了一个箱子，此时该箱子中共有外观完全相同的六件产品.只有将产品逐一打开检
13、验才能确定哪两件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废.记表示将两件不合格产品全部检测出来后四件合格品中报废品的数量.()求报废的合格品少于两件的概率；()求的分布列和数学期望.解析：() ；()01234 .17(本小题满分13分)已知函数() 求函数的单调递增区间；() 已知中，角所对的边长分别为，若，求的面积解析：（） ， 令， 得， 所以函数的单调递增区间为； （），解得或，又，故，由，得，则, 所以18.（本小题满分13分）已知椭圆（常数、，且）的左右焦点分别为，M、N为短轴的两个端点,且四边形F1MF2N是边长为2的正方形()求椭圆方程；()过原点且斜率分别为k和k（
14、k2）的两条直线与椭圆的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），求四边形ABCD的面积S的最大值解析： ()依题意:,所求椭圆方程为.()设A(x,y).由得.根据题设直线图象与椭圆的对称性,知 设则当时，在时单调递增，当时，.19. （本小题满分13分）在四棱锥中，侧面底面，底面是直角梯形，=90,，.()求证：平面；()设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角的大小为45.解析：()平面PCD底面ABCD，PDCD，所以PD平面ABCD，所以PDAD. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0）， P（0，0，1
15、） 所以 又由PD平面ABCD，可得PDBC，所以BC平面PBD； ()平面PBD的法向量为 ，所以，设平面QBD的法向量为n=（a，b，c），由n，n，得 所以，由解得。20（本小题满分14分）设函数， ()求的极值；()设，记在上的最大值为，求函数的最小值；（）设函数（为常数），若使在上恒成立的实数有且只有一个，求实数和的值解析：()令，得，区间分别单调增，单调减，单调增，于是当时，有极大值极小值，()由()知区间分别单调增，单调减，单调增，所以当时，特别当时，有；当时，则，所以对任意的，（）由已知得在上恒成立，得时，时，故时，函数取到最小值.从而；同样的，在上恒成立，由得时，时，故时，函
16、数取到最小值.从而，由的唯一性知，.21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修42:矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成. 求矩阵M解析：设M=，则=3=，故=，故 联立以上两方程组解得a=，b=4，c=，d=6，故M= （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（为参数），曲线与交于M，N两点，求M，N两点间的距离解析：曲线的直角坐标方程为：，曲线的变通方程为：，联立方程组，消去x得：，解得或，代入，x没有实数解；代入，所以M，N两点间的距离为2.（3）（本小题满分7分）选修45：不等式选讲不等式对任意实数t恒成立，试求实数x的取值范围解析：对任意实数t恒成立等价于，或或， 解得实数x的取值范围为。