1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第四节 随机事件的概率(2016中山模拟)从 1，2，3，4，5 这 5 个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数；上述事件中，是对立事件的是()ABCD解析：从 1，2，3，4，5 这 5 个数中任取两个数有 3 种情况：一奇一偶，2 个奇数，2 个偶数 其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或 2 个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件 又中的事件可以同时发生，不是对立事件答案：C1本题中准确理解恰有 2 个奇数(偶数)，一奇一偶，至
2、少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系 2准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生 口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出2 球，事件 A“取出的两球同色”，B“取出的 2 球中至少有一个黄球”，C“取出的 2 球至少有一个白球”，D“取出的两球不同色”，E“取出的 2 球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为_A 与 D 为对立事件；B 与 C 是互斥事件
3、；C 与 E 是对立事件；P(CE)1；P(B)P(C)解析：当取出的 2 个球中一黄一白时，B 与 C 都发生，不正确当取出的 2 个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生，则不正确显然 A 与 D 是对立事件，正确；CE 为必然事件，正确由于 P(B)45，P(C)35，所以不正确 答案：(2015陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率解：(1)由 4 月份天气统计表知，在容量为 30 的样
4、本中，不下雨的天数是 26.以频率估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为26301315，(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率 f141678.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.1解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率 2频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率
5、会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值(2015北京卷节选)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率解：(1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率 f 2001 0000.2 因此估计顾客同时购买乙和丙的概率为 0.2.(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、
6、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品 则顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买了 3 种商品的频率为1002001 0000.3 所以估计顾客同时购买了 3 种商品的概率为 0.3.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)解：(1)由题意，得25y1010055%，x3045，解之得 x1
7、5，且 y20.该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100 位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为 100 的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计 又 x1151.530225202.51031001.9.估计顾客一次购物的结算时间的平均值为 1.9 分钟(2)设 B、C 分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为 2.5 分钟、3 分钟”设 A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率”将频率视为概率，得 P(B)2010015，P(C)10100 110，B，C 互斥，且 ABC，P(A)P(BC)P(B)P(C)15 11
8、0 310，因此 P(A)1P(A)1 310 710.一位顾客一次购物结算时间不超过 2 分钟的概率为 0.7.1(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来(2)结算时间不超过 2 分钟的事件，包括结算时间为 2 分钟的情形，否则会计算错误 2求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 P(A)1P(A)求解当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法(2016唐山质检)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的
9、赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率解析：(1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”，B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”，以频率估计概率得 P(A)1501 0000.15，P(B)1201 0000.12.由表格知，赔付金额大于投保金额即事件 AB 发生，且 A、B互斥 P(AB)P(A)P(B)0.150.120.27.故赔付金额大于投保金额的概率为 0.27.(2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.11 000100(辆)，而赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主为新司机的有 0.212024(辆)所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 241000.24.因此，由频率估计概率得 P(C)0.24.