1、2003年全国高中数学联赛四川省预赛9月14日上午9001100试题录制：四川省成都市新都一中 肖宏一、选择题(每小题5分，共计30分)1. 函数f(x)是( )A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数2. 函数f(x)在区间0,的最大值与最小值的和是( )A.B.0C.2D.43. 在1，2，3，99这99个自然数中与99互质的数的个数是( )A.42B.57C.60D.634. 将等比数列1，2，4，8，与等比数列3，6，12，24，的诸项由小到大混排成一个新数列，那么的值是( )A. B. C. D. 5. 已知f(x)是定义在
2、(,4)上的减函数，且对任意的xR，恒有f(msinx) f(2sinx)成立，则实数m的取值范围是( )A.(3,3)B.0,3C.0,5D.(3,0)6. 函数f(x,y)在满足条件0之下的最大值是( )A.24B.16C.12D.11二、填空题(每小题5分，共计30分)7. 已知数列的前n项和 (n1,2,)，则数列的第2003项的值为_.ABCDFE8. 设双曲线 ()的右焦点为F，过F点作轴的垂线与双曲线交于A、B两点，又过F作双曲线的渐近线的平行线交双曲线于点P，则_.9. 在如图所示几何体中，EF面正方形ABCD，若EF的长为2，其余棱长均为1，则这个几何体的体积为_.10. 设
3、2(、b是已知实数)，已知f(2)8，则f(2)_.11. 函数的最大值是_.12. 用红、黄、蓝三种颜料为从上到下的四面信号旗染色，要求每面只染一种颜色，且每种颜色都应出现在某面旗上，则不同的染色方法共有_种.三、解答题(每小题20分，共计80分)13. 设bc0，且证明：(1) ； (2) 14. 已知椭圆40(k为参数)，求一条直线，使这条直线被这些椭圆截得的线段长都等于.BDCIGEA15. 如图，ABC的内切圆I分别与BC、CA相切于点D和点E，且BI与DE相交于点G，求证：ACBH GE FD16. 在ABC中，C90,BC1，以A为圆心，AC为半径画弧交AB于D，在由弧CD于直线
4、段BD、BC围成的区域内作内接正方形EFGH，使G和H在BC上，E在弧CD上，F在BD上，试问：当AC的长为何值时，正方形EFGH的面积为最大？证明你的结论.2003年全国高中数学联赛四川省预赛参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共计30分)B A C A B D二、填空题(每小题5分，共计30分)7. 8.4 9. 10.12 11. 12.36三、解答题(每小题20分，共计80分)13.证明：(1)由柯西(Cauchy)不等式可知 10 (2)由均值不等式可知 a(ab)b2 b(bc)c2 即15 于是2014.解：化原方程为(xk)21则椭圆中心为(k,2k)，即中心在直线y2x
5、上.故上述椭圆是由椭圆x21平移而得因此，被每一个椭圆截得相等线段的直线必定与y2x平行.5设所求直线方程为y2xb,它与椭圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，将y2x代入椭圆方程，整理得2x2bx10,由韦达定理得10由弦长公式l15知即 解得 bBDCIGEA故所求直线方程为 y2x2015.证明：连结AI、CI、DI和EI则IEAC,ICDE IEGC 5 BGD180DBGBDG 180B(90C) 90(BC) AIAE10 A、E、G、I四点共圆.因此，IAGIEGCAGIAEI9015又IODC,CDI90 RtAGIRtCDI 故 20ACBH GE FDP16.证明：设ACx,EFy，延长EF与AB交于点P， EPBC， AFPABC ，即 FP在RtAEP中，AEx,APxy,EFFPEPy，由勾股定理得(y)2(xy)2x2 (*) 5即(xy)(2y)0 xy, (*)式成立的充要条件是2y0这时，y10 当且仅当2x，即x时等号成立.15显然，正方形EFGH的面积y2当ACx时取得最大值最大值为20