1、第2节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性【选题明细表】知识点、方法题号判断或证明函数的单调性2,6求函数的单调区间1,4,7已知函数的单调性求参数的取值范围3,8,11,12利用导数研究函数单调性的综合问题5,9,10,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(D)(A)(-,0) (B)(0,+)(C)(-,-3)和(1,+)(D)(-3,1)解析:y=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y0x2+2x-30-3x1,所以函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(-3,1).故选D.2.(2015宁波联考)函
2、数f(x)=-(ab1),则(C)(A)f(a)=f(b)(B)f(a)f(b)(D)f(a),f(b)大小关系不能确定解析:因为f(x)=-=,当x1时有f(x)0,故f(x)在xf(b).3.(2016兰州一中期中)设函数f(x)=x2-9ln x在区间a-1,a+1上单调递减,则实数a的取值范围是(A)(A)(1,2 (B)4,+)(C)(-,2(D)(0,3解析:f(x)=x-,当f(x)=x-0时,0x3,即在(0,3上f(x)是减函数,因为f(x)在a-1,a+1上单调递减,所以解得1a2,故A正确.4.f(x)是f(x)的导函数,若f(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是(
3、C)解析:由导函数的图象可知,当x0,即函数f(x)为增函数;当0xx1时,f(x)x1时,f(x)0,即函数f(x)为增函数,观察选项易知C正确.5.(2016江西省临川区一中高三上期中)若函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数a的取值范围是(C)(A)0,+)(B)(-,0(C)(-,0)(D)(0,+)解析:由题意知x0,f(x)=1+,要使函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则需方程1+=0在x0上有解,即x=-a,所以a0,故选C.6.(2016福建省“四地六校”联考)已知函数f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函数,则实数a的最大值是.解析:由题意知在(
4、0,1)上f(x)=2x+-a0,所以a2x+,因为2x+2,所以a2,故a的最大值为2.答案:27.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为.解析:由f(x)=x3-15x2-33x+6得f(x)=3x2-30x-33,令f(x)0,即3(x-11)(x+1)0,解得-1x0).若函数f(x)在1,2上为单调函数,则a的取值范围是.解析:f(x)=-4x+,若函数f(x)在1,2上为单调函数,即f(x)=-4x+0或f(x)=-4x+0在1,2上恒成立,即4x-或4x-在1,2上恒成立.令h(x)=4x-,则h(x)在1,2上单调递增,所以h(2)或h(1),即或3,又a0,所
5、以00),则h(x)=-0,即h(x)在(0,+)上是减函数.由h(1)=0知,当0x0,从而f(x)0;当x1时,h(x)0,从而f(x)0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,1与3,+),在区间(1,3)上,f(x)t,x(-1,1)时有解,故e+1t.答案:(-,e+1)12.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在 t,t+1上不单调,则t的取值范围是.解析:由题意知f(x)=-x+4-=-,由f(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t0时,f(
6、x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+);当a0时,f(x)的增区间为(1,+),减区间为(0,1);当a=0时,f(x)不是单调函数.(2)由(1)及题意得f(2)=-=1,即a=-2,所以f(x)=-2ln x+2x-3,f(x)=.所以g(x)=x3+(+2)x2-2x,所以g(x)=3x2+(m+4)x-2.因为g(x)在区间 (t,3)上总不是单调函数,即g(x)在区间(t,3)上有变号零点.由于g(0)=-2,所以当g(t)0,即3t2+(m+4)t-20对任意t1,2恒成立,由于g(0)0,故只要g(1)0且g(2)0,得m-5且m-9,即m0,得m-.所以-m-9.即实数m
7、的取值范围是(-,-9).精彩5分钟1.(2015洛阳调研)若f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+)上是减函数,则b的取值范围是(C)(A)-1,+)(B)(-1,+)(C)(-,-1(D)(-,-1)解题关键:依题意,f(x)0在(1,+)上恒成立.解析:由题意可知f(x)=-(x-2)+0,在x(1,+)上恒成立,即bx(x-2)在x(1,+)上恒成立,由于(x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+)上的值域是(-1,+),故只要b-1即可.2.(2016达州模拟)已知f(x)=x2-aln x在区间(0,2)上不单调,实数a的取值范围是(D)(A)(-2,0)(0,2) (B)(-4,0)(0,4)(C)(0,2) (D)(0,4)解题关键:依题意,f(x)在(0,2)内有变号零点.解析:因为函数f(x)在区间(0,2)上不单调,所以f(x)=x-=在(0,2)内有变号零点,即(0,2),所以a(0,4).3.(2016通州模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)2f(x),则e2f(0)与f(1)的大小关系为.解题关键:构造函数g(x)=,研究其单调性.解析:由f(x)2f(x)得()=g(1),即,即e2f(0)f(1).答案:e2f(0)f(1)