1、2014-2015学年广西桂林十八中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2014北京）若集合A=0，1，2，4，B=1，2，3，则AB=（） A 0，1，2，3，4 B 0，4 C 1，2 D 3考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 直接利用交集的运算得答案解答： 解：A=0，1，2，4，B=1，2，3，AB=0，1，2，41，2，3=1，2故选：C点评： 本题考查交集及其运算，是基础题2（5分）（2015春桂林校级期中）已知复数z=，则复数z等于（） A 2i B 2+i C 2+i D 2
2、i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 分子分母同乘以i，化简可得解答： 解：化简可得z=2i故选：A点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题3（5分）（2015春桂林校级期中）某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，其中级职称人数为（） A 15 B 12 C 10 D 9考点： 分层抽样方法专题： 概率与统计分析： 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解答： 解：抽取30人进行分层抽样，其中级职称人数为=9人，故选：D点评： 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比
3、较基础4（5分）（2014广西）已知角的终边经过点（4，3），则cos=（） A B C D 考点： 任意角的三角函数的定义专题： 三角函数的求值分析： 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos的值解答： 解：角的终边经过点（4，3），x=4，y=3，r=5cos=，故选：D点评： 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题5（5分）（2015春桂林校级期中）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2x，则f（1）=（） A 0 B 1 C 2 D 4考点： 反函数专题： 函数的性质及应用分析： 由反函数的性质可令1+2x=1，解得x即为所求解答： 解：由反函
4、数的性质可令1+2x=1，解得x=0，f（1）=0，故选：A点评： 本题考查反函数的性质，属基础题6（5分）（2015春桂林校级期中）从2，3，4中随机选取一个数a，从2，3，4中随机选取一个数b，则ba的概率是（） A B C D 考点： 古典概型及其概率计算公式；几何概型专题： 概率与统计分析： 由分步计数原理可得总的方法共9种，列举可得满足ba的共3种，由古典概型的概率公式可得解答： 解：2，3，4中随机选取一个数a共有3种方法，从2，3，4中随机选取一个数b共有3种方法，共有33=9种方法，其中满足ba的有（2，3），（2，4），（3，4）共3种，ba的概率是P=故选：C点评： 本题考
5、查古典概型，涉及分步计数原理，属基础题7（5分）（2015春桂林校级期中）设则（） A abc B bac C acb D cba考点： 对数函数的单调性与特殊点专题： 函数的性质及应用分析： 由条件利用对数函数的单调性和特殊点判断出a、b、c的范围，可得它们间的大小关系解答： 解：由于a=log21，b=log21，c=（0，1），acb，故选：C点评： 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题8（5分）（2015春桂林校级期中）函数f（x）=log2（x+1）的其中一个零点所在的区间是（） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4）考点： 函数零点的判定定理专题
6、： 函数的性质及应用分析： 根据函数零点的判定定理进行判断即可解答： 解：f（1）=2=10，f（2）=10，函数f（x）的其中一个零点所在的区间是（1，2），故选：B点评： 本题考查了函数零点的判定定理，是一道基础题9（5分）（2015春桂林校级期中）执行如图所示的程序框图，如果输入的x，yR，那么输出的S的最大值为（） A 0 B 1 C 2 D 3考点： 程序框图专题： 计算题；算法和程序框图分析： 算法的功能是求可行域内，目标还是S=3x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=3x+y的最大值，画出可行
7、域如图：当时，S=3x+y的值最大，且最大值为3故选：D点评： 本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键10（5分）（2015春桂林校级期中）已知双曲线=1（a0，b0）的焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆交双曲线于点A，若F1F2A=，则双曲线的离心率为（） A 1+ B 4+2 C 4 D 2+考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据F1F2为圆的直径，推断出F1AF2为直角，进而结合F1F2A=，可得|AF1|和|AF2|，根据双曲线的定义求得a，则双曲线的离心率可得解答： 解：F1F2为圆的直径，
8、AF1F2为直角三角形，又F1F2A=，|AF1|=c，|AF2|=，根据双曲线的定义可知a=，e=1故选：A点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生数形结合思想的运用和基本的运算能力11（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1直径为4的球的体积为V2，则V1：V2=（） A 1：4 B 1：2 C 1：1 D 2：1考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题分析： 由三视图判断几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，且圆柱与圆锥的底面圆直径为4，高为2，代入体积公式求出V1，V2，再计算解答： 解：由三视图判断几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，且圆柱与圆
9、锥的底面圆直径为4，高为2，V1=222222=，V2=23=；=故选B点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，考查了球的体积公式与圆锥、圆柱的体积公式，关键是由三视图判断几何体的形状12（5分）（2015春桂林校级期中）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（） A B C D a考点： 类比推理专题： 简易逻辑分析： 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质
10、类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质解答： 解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=a，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4a=a，故选：A点评： 本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力二、填空题：本大
11、题共4小题，每小题5分13（5分）（2015春桂林校级期中）在等差数列an中，a1=2，a4=5，则a7=8考点： 等差数列的性质；等差数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 设等差数列an的公差为d，根据题意和等差数列的通项公式求出d，再求出a7的值解答： 解：设等差数列an的公差为d，a1=2，a4=5，d=1，a7=a1+6d=2+6=8，故答案为：8点评： 本题考查等差数列的通项公式，属于基础题14（5分）抛物线C：y2=2x与直线l：y=x交于A，B两点，则|AB|=4考点： 抛物线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 直线的方程与抛物线方程联立，消去y
12、，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p求得答案解答： 解：抛物线焦点为（，0）直线l：y=x，代入抛物线方程得x23x+0.25=0x1+x2=3根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+=x1+x2+p=3+1=4故答案为：4点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是灵活利用了抛物线的定义15（5分）已知函数f（x）=2+alnx（aR），若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为xy+b=0，则实数a=b=（ln2+1）考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y
13、=x+b可知，f（2）=1，f（2）=+aln2=2+b，可解ab的值；解答： 解：已知函数f（x）=x2+alnx，则导数f（x）=x+，函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：f（2）=1，即+=1，解得a=，又f（2）=+aln2=2+b，解得b=（ln2+1）故答案为：；（ln2+1）点评： 本题考查导数的应用：在某点处的切线斜率即是该点的导数值是解决问题的关键，属基础题16（5分）（2014山东）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 空间位置关系与距离；立体几何分析： 判断棱锥是正
14、六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积解答： 解：一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，h=1，棱锥的斜高为：=2，该六棱锥的侧面积为：=12故答案为：12点评： 本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）（2015春桂林校级期中）ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，且3acosA=（bcosC+ccosB）（1）求cosA的值；（2）若，c=2，求ABC的面积考点： 正弦定理的应用专题： 解三角形分析：
15、（1）根据正弦定理进行求解即可求cosA的值；（2）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理，三角形的面积公式进行求解即可解答： 解：（1）由正弦定理得，得 （2）若，则，又得，点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键18（12分）（2015春桂林校级期中）已知an是递减的等差数列，a2，a3是方程x25x+6=0的根（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和考点： 数列的求和；等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： （1）方程x25x+6=0的两根为2，3由题意得a2=3，a3=2再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等
16、比数列的前n项和公式即可得出解答： 解：（1）方程x25x+6=0的两根为2，3由题意得a2=3，a3=2设数列an的公差为d，则a3a2=d，故d=1，从而得a1=4an的通项公式为an=n+5（2）设的前n项和为Sn，由（1）知，则，两式相减得即，点评： 本题考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）（2015春桂林校级期中）为研究某市高中教育投资情况，现将该市某高中学校的连续5年的教育投资数据进行统计，已知年编号x与对应教育投资y（单位：百万元）的抽样数据如下表：单位编号x12345投资额y3.
17、33.63.94.44.8（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析5年来的该高中教育投资变化情况，预测该高中下一年的教育投资约为多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：（参考公式：回归直线方程式，其中）考点： 回归分析的初步应用专题： 应用题；概率与统计分析： （1）首先求出x，y的平均数，得到样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，即可写出线性回归方程（2）当自变量取6时，把6代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字解答： 解：（1）由所给数据计算得，所求回归方程为（8分）（2）由（1）知：下年的教育投资约为0.386+2.8
18、6=5.14（百万元）（12分）点评： 本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节，本题是一个中档题目20（12分）（2013五华区校级模拟）如图，四棱锥S一ABCD中，已知ADBC，ADC=90，BAD=135，AD=DC=，SA=SC=SD=2（I）求证：ACSD；（）求二面角ASBC的余弦值考点： 二面角的平面角及求法专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）取AC的中点O，连接OD，由已知得AC平面SOD，由此能证明ACSD（）由题意知OA=OC=OD，SA=SC=SD，从而SO平面A
19、BCD，连接BO，则SBO为直线SB与平面ABCD所成的角，由此能求出二面角ASBC的余弦值解答： （）证明：如图，取AC的中点O，连接OD，AD=DC，ACOD，又SA=SC，ACOS，由ODOS=O，得AC平面SOD，SD平面SOD，ACSD（）解：由题意知OA=OC=OD，SA=SC=SD，O是点S在平面ABCD上的射影，故SO平面ABCD，连接BO，则SBO为直线SB与平面ABCD所成的角，由题意知BAC=90，ACB=45，ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2，BO=，在RtSBO中，SB=2，cosSBO=，二面角ASBC的余弦值为点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角
20、的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用21（12分）（2015广西模拟）已知函数f（x）=x33x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为2（）求a；（）证明：当k1时，曲线y=f（x）与直线y=kx2只有一个交点考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性专题： 导数的综合应用分析： （）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（）构造函数g（x）=f（x）kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论解答： 解：（）函数的导数f（x）=3x26x+a；f（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方
21、程为y=ax+2，切线与x轴交点的横坐标为2，f（2）=2a+2=0，解得a=1（）当a=1时，f（x）=x33x2+x+2，设g（x）=f（x）kx+2=x33x2+（1k）x+4，由题设知1k0，当x0时，g（x）=3x26x+1k0，g（x）单调递增，g（1）=k1，g（0）=4，当x0时，令h（x）=x33x2+4，则g（x）=h（x）+（1k）xh（x）则h（x）=3x26x=3x（x2）在（0，2）上单调递减，在（2，+）单调递增，在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（1）=k1，g（0）=4，则g（x）=0在（，0有唯一实根g（x）h（x）h（2）=0，g（x）=0在（
22、0，+）上没有实根综上当k1时，曲线y=f（x）与直线y=kx2只有一个交点点评： 本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力22（12分）（2013上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程考点： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）由F1B1
23、B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求解答： 解：（1）设椭圆C的方程为根据题意知，解得，故椭圆C的方程为（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x1）由，得（2k2+1）x24k2x+2（k21）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即=，解得，即k=故直线l的方程为或点评： 本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目