1、第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 学 习 目 标核 心 素 养 1理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点(重点、易混点)2会用综合法、分析法解决问题(重点、难点)通过综合法、分析法的学习和应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1综合法 定义推证过程特点 利用_和某些数学_、_、_等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法PQ1Q1Q2 Q2Q3 QnQ(P 表示_、已有的_、_、_等，Q 表示_)顺推证法或由因导果法已知条件定义公理定理推理论证已知条件定义公理定理所要证明的结论2.
2、分析法定义框图表示特点 一般地，从要证明的_，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、_、_、_等)为止，这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法 结论出发充分条件定理定义公理思考 1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”思考 2:综合法与分析法有什么区别？提示 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因1用分析法证
3、明：欲使AB，只需C0，1a1b21ab0，(ab)1a1b 4.又 ab1，1a1b4.法三：1a1baba abb 1baab1 22baab4.当且仅当 ab 时，取“”号(2)由 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 bcb2c2a2，所以 cos Ab2c2a22bc12，所以 A3.因为 ABC180，所以 BC18060120，由 sin Bsin C 3，得 sin Bsin(120B)3，sin B(sin 120cos Bcos 120sin B)3，32sin B 32 cos B 3，即 sin(B30)1.因为
4、 0B120，所以 30B30150，所以 B3090，B60，所以 ABC60，即ABC 为等边三角形综合法的解题步骤跟进训练1.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点(1)证明：CDAE；(2)证明：PD平面 ABE.证明(1)在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，CDAE.(2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.由(1)知，AECD，又 PCCDC，AE平面
5、PCD.而 PD平面 PCD，AEPD.PA底面 ABCD，PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD.又 ABAD，ABPD.又ABAEA，PD平面 ABE.分析法的应用【例 2】设 a，b 为实数，求证：a2b2 22(ab)证明 当 ab0 时，a2b20，a2b2 22(ab)成立 当 ab0 时，用分析法证明如下：要证 a2b2 22(ab)，只需证(a2b2)222 ab2.即证 a2b212(a2b22ab)，即证 a2b22ab.a2b22ab 对一切实数恒成立，a2b2 22(ab)成立综上所述，不等式得证用分析法证明不等式的三个关注点(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本
6、性质、基本不等式、已知的重要不等式等(2)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”“看”“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件(3)分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性，其格式一般为“要证，只要证.只需证，显然成立，所以成立”跟进训练2如图所示，SA平面 ABC，ABBC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F.求证：AFSC.证明 要证 AFSC，只需证 SC平面 AEF，只需证 AESC(因为 EFSC)，只需证 AE平面 SBC，只需证 AEBC(因为 AESB)，只需证 BC平面 SAB，只需
7、证 BCSA(因为 ABBC)由 SA平面 ABC 可知上式成立，所以 AFSC.综合法和分析法的综合应用探究问题1在实际解题时，综合法与分析法能否可以结合起来使用？提示 在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程 2你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路吗？提示 用框图表示如下：其中 P 表示已知条件、定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论【例 3】已知 a，b，c 是不全相等的正数，且 0 x1.求证：logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc.思路探究：解答本题的关键是利用对
8、数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明 证明 要证明：logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc，只需要证明 logxab2 bc2 ac2logx(abc)由已知 0 xabc.由公式ab2 ab0，bc2 bc0，ac2 ac0，又a，b，c 是不全相等的正数，ab2 bc2 ac2 a2b2c2abc.即ab2 bc2 ac2 abc 成立 logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc 成立1(变条件)删掉本例条件“0 xlg(abc)，即证ab2 bc2 ca2 abc.因为 a，b，c 为不全相等的正数，所以
9、ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ac0，且上述三式中等号不能同时成立，所以ab2 bc2 ca2 abc 成立，所以 lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg c 成立2(变条件)把本例条件“0 x1”换成“abc1”，求证：1a1b1c a b c.证明 法一：由左式推证右式 abc1，且 a，b，c 为不全相等的正数，1a1b1cbcacab bcac2acab2abbc2 bcac acab abbc c a b.1a1b1c a b c.法二：由右式推证左式 a，b，c 为不全相等的正数，且 abc1，a b c1bc1ac1ab 1b1c2 1a1c2 1a1
10、b2 1a1b1c.分析综合法的解题思路分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P；若由 P 可推出 Q，即可得证课 堂 小 结 提 素 养 1综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语3在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用1欲证 2 3 6 7成立，只需证()A(2 3)2(6 7)2B(2 6)2(3 7)2C(2 7)2(3 6)2D(2 3 6)2(7)2C 2 30，6 70，故 2 3 6 7 2 7 3 6(2 7)
11、2(3 6)2.2在ABC 中，若 sin Asin Bcos Acos B，则ABC 一定是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形D等边三角形C 由 sin Asin B0，所以 cosC0，求证：3a32b33a2b2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)证明 法一：(综合法)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为 ab0，所以 ab0,3a22b20，从而(3a22b2)(ab)0，所以 3a32b33a2b2ab2.法二：(分析法)要证 3a32b33a2b2ab2，只需证 3a2(ab)2b2(ab)0，只需证(3a22b2)(ab)0，ab0.ab0，3a22b22a22b20，上式成立点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!