1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4 次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A4 种 B6 种C10 种D16 种(2)(2016郑州质检)满足 a，b1，0，1，2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13C12 D10解析：(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有 3 种方法(如右图)，同理，甲先传给丙时，满足条件有 3 种踢法 由分类加法计数原理，共有 336 种传递方法(2)当 a0 时，有 xb2，b1，0，
2、1，2 有 4 种可能；当 a0 时，则 44ab0，ab1，()当 a1 时，b1，0，1，2 有 4 种不同的选法；()若 a1 时，b1，0，1，有 3 种可能；()若 a2 时，b1，0，有 2 种可能 有序数对(a，b)共有 443213(个)答案：(1)B(2)B1第(2)题常见的错误：(1)想当然认为二次方程(a0)，错选 D；(2)误认为 ab.2分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准；(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复 【
3、变式训练】某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A4 种B10 种C18 种D20 种解析：赠送 1 本画册，3 本集邮册需从 4 人中选取一人赠送画册，其余送邮册，有 C14种方法 赠送 2 本画册，2 本集邮册，只需从 4 人中选出 2 人送画册，其余 2 人送邮册，有 C24种方法 由分类加法计数原理，不同的赠送方法有 C14C2410(种)答案：B(1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A10 种B25 种C52 种D24 种(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，
4、且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法解析：(1)每相邻的两层之间各有 2 种走法，共分 4 步由分步乘法计数原理，共有 24种不同的走法(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法，第三个项目只有 4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法 654120(种).答案：(1)D(2)1201在第(1)题中，易错误认为分 5 步完成，导致错选 B.2利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事(1)设集合 A1，0，1，
5、B0，1，2，3，定义 A*B(x，y)|xAB，yAB，则 A*B 中元素的个数为_(2)(2016郑州模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为_(用数字作答)解析：(1)易知 AB0，1，AB1，0，1，2，3 x 有两种取法，y 有 5 种取法 由分步乘法计数原理，A*B 的元素有 2510(个)(2)第 1 步把甲、乙分到不同班级有 A222 种分法 第 2 步分丙丁：丙、丁到同一班级有 2 种方法，丙、丁分到两个不同的班级有 A222 种分法 由计数原理，不同的分法为 2(22)8(种)答案：(1)
6、10(2)8(1)(2014福建卷改编)用 a 代表红色球，b 代表蓝色球由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式 1abab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 5个无区别的红球、5 个无区别的蓝球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1aa2a3a4a5)(1b5)B(1a5)(1bb2b3b4b5)C(1a)5(1bb2b3b4b5)D(1a5)(1b5)(2)如图所示，用 4 种不同的颜色对图
7、中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_解析：(1)分两步：第一步，5 个无区别的红球可能取出 0 个，1个，5 个，则有 1aa2a3a4a5 种不同的取法 第二步，5 个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有 1b5种不同取法 由分步乘法计数原理，共有(1aa2a3a4a5)(1b5)种取法故选 A.(2)按区域 1 与 3 是否同色分类：区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3 有 4 种方法，再涂区域 2，4，5(还有 3 种颜色)有 A33种方法 区域 1 与 3 涂同色，共有 4A3324 种方法 区域 1
8、与 3 不同色：第一步，先涂区域 1 与 3 有 A24种方法，第二步，涂区域 2 有 2 种涂色方法，第三步，涂区域 4 只有一种方法，第四步涂区域 5 有 3 种方法 这时共有 A2421372 种方法 由分类加法计数原理，不同的涂色种数为 247296.答案：(1)A(2)961(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步在分步时可能又用到分类加法计数原理(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化 2解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成，第(2)题中，由于相邻的区域不同色，从而是按区域 1 与区域 3 是否同色分类处理的 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3，则称这样的三位数为凸数(如 120，343，275 等)，那么所有凸数的个数为()A240 B204C729 D920解析：若 a22，则“凸数”为 120 与 121，共 2 个若 a23，则“凸数”有 236 个，若 a24，满足条件的“凸数”有 3412(个)，若 a29，满足条件的“凸数”有 8972(个)所有凸数有 26122030425672240(个)答案：A
