1、菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练第四节 基本不等式最新考纲展示 1了解基本不等式的证明过程 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练1基本不等式成立的条件：.2等号成立的条件：当且仅当时取等号一、基本不等式 abab2a0，b0ab菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练二、几个重要的不等式1a2b2(a，bR)2.baab (a，b 同号)3abab22(a，bR
2、)4.a2b22ab22(a，bR)2ab2菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练三、算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为四、利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则1如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当时，xy 有最值是 2 p.(简记：积定和最小)2如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当时，xy 有最值是p24.(简记：和定积最大)xy小xy两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数大菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习
3、 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练1在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2对于公式 ab2 ab，abab22，要弄清它们的作用和使用条件及内在条件，两个公式也体现了 ab 和 ab 的转化关系菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练3运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2b22ab 逆用就是 aba2b22，ab2 ab(a，b0)逆用就是abab22(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公
4、式等号成立的条件等菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 yx1x的最小值是 2.()(2)abab22 成立的条件是 ab0.()(3)函数 f(x)cos x 4cos x，x0，2 的最小值等于 4.()菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(4)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件()(5)若 a0，则 a3 1a2的最小值是 2 a.()(6)a2b2c2a
5、bbcca(a，b，cR)()菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练2设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82解析：xyxy22182281，当且仅当 xy9 时等号成立，故选C.答案：C菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练答案：23已知 t0，则函数 yt24t1t的最小值为_解析：t0，yt24t1tt1t4242，当且仅当 t1时等号成立菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训
6、练答案：54已知 x1，则 x 4x1的最小值为_解析：x1，x10，x 4x1(x1)4x11415，当且仅当 x1 4x1即 x3 时等号成立菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练利用基本不等式证明简单不等式(自主探究)例 1(1)已知 a0，b0，c0，且 abc1.求证：1a1b1c9.(2)已知 x0，y0，z0.求证：yxzx xyzy xzyz 8.证明(1)a0，b0，c0，且 abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc3baab caac cbbc 32229，当且仅当 abc13时，
7、取等号菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题(2)x0，y0，z0，yxzx2 yzx 0，xyzy2 xzy 0，xzyz2 xyz0，yxzx xyzy xzyz8 yz xz xyxyz8.当且仅当 xyz 时等号成立菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练利用基本不等式求最值(师生共研)例 2(1
8、)(2013 年高考山东卷)设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xyz 取得最大值时，2x1y2z的最大值为()A0 B1C.94D3(2)(2014 年广州一模)已知2x2y1(x0，y0)，则 xy 的最小值为()A1 B2C4 D8菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练解析(1)由 x23xy4y2z0，得 zx23xy4y2，xyz xyx23xy4y21xy4yx 3.又 x，y，z 为正实数，xy4yx 4，当且仅当 x2y 时取等号，此时 z2y2.2x1y2z 22y1y 22y21y22y1y1
9、21，当1y1，即 y1 时，上式有最大值 1.菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练答案(1)B(2)D规律方法 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(2)x0，y0，xy(xy)2x2y 42xyyx 44xyyx8.当且仅当xyyx，即 xy4 时取等号菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练1(1)若正
10、数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()A.245B.285C5 D6(2)若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是()A.43B.53C2 D.54菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练答案：(1)C(2)C解析：(1)由 x3y5xy 可得 15y 35x1，3x4y(3x4y)15y 35x 95453x5y12y5x 135 125 5(当且仅当3x5y12y5x，即 x1，y12时，等号成立)，3x4y 的最小值是 5.(2)由 x0，y0，得 4x29y23xy2(2x)(3
11、y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立)，12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2.菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？基本不等式的实际应用(师生共研)菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练
12、规律方法 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值解析 设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 Sxy，依题设，得 40 x245y20 xy3 200，由基本不等式得 3 2002 40 x90y20 xy120 xy20 xy120 S20S，则 S6 S1600，即(S10)(S16)0，故 0 S10，从而 0q0，则提价多的方案是_菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练解析：(1)设每件产品的平
13、均费用为 y 元，由题意得y800 x x82800 x x820.当且仅当800 x x8(x0)，即 x80 时“”成立，故选 B.(2)设原价为 1，则提价后的价格为方案甲：(1p%)(1q%)，方案乙：1pq2%2，菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练答案：(1)B(2)乙因为1p%1q%1p%21q%21pq2%，且 pq0，所以 1p%1q%1pq2%，即(1p%)(1q%)1pq2%2，所以提价多的方案是乙菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练菜 单 隐 藏 山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习 A 数学抓主干知识回扣提素能高效训练本小节结束请按ESC键返回