1、第十二篇复数、算法、推理与证明(必修3、选修22)第1节数系的扩充与复数的引入 【选题明细表】知识点、方法题号复数的相关概念1,5,10,12,14,15,19,22复数代数形式的运算3,6,8,9,16,24复数的几何意义2,11,13,18,20复数相等的应用4,7,17,21复数的综合23,25基础对点练(时间:30分钟)1.(2016资阳模拟)复数m2-1+(m+1)i是纯虚数,则实数m的值为(B)(A)-1 (B)1(C)1(D)2解析:若复数m2-1+(m+1)i是纯虚数,则m2-1=0且m+10,解得m=1.2.(2016重庆模拟)在复平面内,复数i(1-i)对应的点位于(A)(
2、A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:因为i(1-i)=1+i,所以复数i(1-i)对应的点的坐标为(1,1),显然位于第一象限.3.(2016绵阳模拟)已知i是虚数单位,则等于(D)(A)-1+i(B)-1-i(C)1+i(D)1-i解析: =1-i.4.(2016宿州模拟)设i为虚数单位,若=b-i(a,bR),则a+b等于(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:因为=b-i(a,bR),所以a+2i=bi+1,所以a=1,b=2,所以a+b=3.5.( 2015高考广东卷)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则等于(A)(A)2-3i(B)2+3i(C)3
3、+2i(D)3-2i解析:因为i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i,所以=2-3i,故选A.6.(2015高考四川卷)设i是虚数单位,则复数i3-等于(C)(A)-I (B)-3i(C)i(D)3i解析:i3-=-i+2i=i.故选C.7.(2015高考新课标全国卷)若a为实数,且=3+i,则a等于(D)(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4解析:因为=3+i,所以2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,又aR,所以a=4.8.(2015高考湖南卷)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于(D)(A)1+i(B)1-i(C)-1+i(D)-1-i解析:z=-i(1-
4、i)=-1-i,故选D.9.(2015高考安徽卷)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)等于(C)(A)3+3i(B)-1+3i (C)3+i(D)-1+i解析:(1-i)(1+2i)=1+i-2i2=3+i.故选C.10.(2016岳阳模拟)已知集合M=x|x=a+(a2-1)i(aR,i是虚数单位),若MR,则a等于(C)(A)1 (B)-1 (C)1 (D)0解析:集合M=x|x=a+(a2-1)i(aR,i是虚数单位),若MR,可知复数x=a+(a2-1)i是实数,所以a2-1=0,解得a=1.11.(2016茂名模拟)复数1-(i为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标是(B)(A
5、)(1,1) (B)(1,-1) (C)(-1,1)(D)(-1,-1)解析:因为复数1-=1+=1-i,在复平面上对应的点的坐标为(1,-1).12.(2016黄冈模拟)是z的共轭复数,若z+=3,z-=3i(i为虚数单位),z的实部与虚部之和为(B)(A)0(B)3(C)-3(D)2解析:设z=a+bi(a,bR),由z+=3,z-=3i,得所以a=b=.所以a+b=3.13.设复数z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为(B)(A)+(B)-(C)-(D)+解析:由|z|1可得(x-1)2+y21,表示以(1,0)为圆心,半径为1的圆及其内部,满足yx的部分,由几何概
6、型概率公式可得所求概率为P=-.14.(2016烟台模拟)设i是虚数单位,aR,若是一个纯虚数,则实数a的值为(C)(A)-(B)-1(C)(D)1解析:=.因为复数是纯虚数,所以解得a=.15.(2015山西模拟)下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为-1+i;p4:z的虚部为1.其中真命题为(C)(A)p2,p3(B)p1,p2(C)p2,p4(D)p3,p4解析:p1:|z|=|=,故命题为假;p2:z2=()2=2i,故命题为真;z=1+i,所以z的共轭复数为1-i,故命题p3为假;因为z=1+i,所以z的虚部为1,故命题p4为真.故真命
7、题为p2,p4.16.(2015高考天津卷)i是虚数单位,计算的结果为.解析:=-i.答案:-i17.(2016龙岩模拟)已知a,bR,i为虚数单位,若a-i=2+bi,则a+b=.解析:因为a-i=2+bi,所以a=2,-1=b,所以a+b=2-1=1.答案:118.(2016盐城模拟)已知复数z=(2-i)(1+3i),其中i是虚数单位,则复数z在复平面上对应的点位于第象限.解析:复数z=(2-i)(1+3i)=5+5i,复数z在复平面上对应的点(5,5)位于第一象限.答案:一19.(2016厦门模拟)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若复数z=3-i,则z=.解析:由z=3-i,得z=
8、|z|2=()2=10.答案:1020.(2016宁德模拟)复数z=(i是虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为.解析:复数z=-i(1+i)=1-i.复数z=(i是虚数单位)在复平面上对应的点(1,-1)到原点的距离为.答案:能力提升练(时间:15分钟)21.(2014高考浙江卷)已知i是虚数单位,a,bR,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当“a=b=1”时,“(a+bi)2=(1+i)2=2i”成立,故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分条件;当“(a+bi)2=a2-
9、b2+2abi=2i”时,“a=b=1”或“a=b=-1”,故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的不必要条件;综上所述, “a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.22.(2016钦州模拟)若复数(aR,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为(B)(A)-3(B)3(C)-6(D)6解析:因为=是纯虚数,所以a-3=0,a+30,所以a=3.23.在复平面内,复数z=(-1)+(2x-1)i的对应点位于第二象限,则实数x的范围是(C)(A)(1,+)(B)(-,0)(C)(0,1) (D)(-,0)(1,+)解析:因为复数z=(-1)+(2x-1)i的对应点位于第二象限,
10、则解得0x1.所以实数x的范围是(0,1).24.(2016安徽模拟)复数z=(a2-4)+(a+2)i为纯虚数,则的值为.解析:因为z=(a2-4)+(a+2)i为纯虚数,所以即解得a=2,则=-i.答案:-i25.设复数z满足=i,则|z|=.解析:由=i,得1+z=i-zi,z=i,所以|z|=|i|=1.答案:1精彩5分钟1.定义:z2=a+bi(a,bR,i为虚数单位),则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义,则复数-3+4i的平方根是(B)(A)1-2i或-1+2i(B)1+2i或-1-2i(C)-7-24i (D)7+24i解题关键:利用复数相等的充要条件求解.解析:设(x+
11、yi)2=-3+4i,则解得或2.(2016黄山模拟)“复数(aR,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a-1”的(B)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解题关键:根据复数的几何意义先求出点位于第二象限时a的取值范围,再作出判断.解析:复数=.因为复数(aR,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限,所以解得a-.所以“复数(aR,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a-1”的必要不充分条件.故选B.【教师备用】 (2016泰安校级期中)定义运算|abcd|=ad-bc,若复数x=,y=|4i3-xi1+i x+i|,则y=.解题关键:理解新运算的含义.解析:x=-i,y=4xi-4-(3+3i-xi+x)=5xi-7-3i-x=-5.答案:-5