1、2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015春瑞安市校级期中）下列命题中，不正确的是（）AB（）=（）C（）=D与共线=考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：利用平面向量的数量积公式对选项分别分析选择解答：解：对于A，因为，所以A正确；对于B，因为（）=|cos，（）=|cos=|cos，故B正确；对于C，（）=是正确的；对于D，与共线，则它们的夹角为0或者180，所以=；故D 错误；故选D点评：本题考查了向量的数量积公式的灵活运用；熟练掌
2、握公式是解答的根据2（5分）（2012秋永昌县期中）在ABC中，一定成立的等式是（）AasinA=bsinBBacosA=bcosBCasinB=bsinADacosB=bcosA考点：正弦定理专题：计算题分析：根据正弦定理表示出a，b，sinA及sinB的关系式，变形后即可得到答案C一定正确解答：解：根据正弦定理得：=，即asinB=bsinA故选C点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，是一道基础题3（5分）（2013秋白城期末）设是单位向量，=3，=3，|=3，则四边形ABCD（）A梯形B菱形C矩形D正方形考点：向量的三角形法则专题：平面向量及应用分析：据向量相反向量的定义得四边形为
3、平行四边形，再据邻边相等四边形为菱形解答：解：，四边形ABCD是平行四边形又四边形ABCD是菱形故选项为B点评：本题考查相反向量的定义，菱形满足的条件4（5分）（2010辽宁模拟）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是（）A4n+2B4n2C2n+4D3n+3考点：归纳推理；等差数列的通项公式分析：本题考查的是归纳推理，处理的方法是，由已知的图案中分析出白色地面砖的块数与图形序号n之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题解答：解：方法一：（归纳猜想法）观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n个图案
4、中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n+2方法二：（特殊值代入排除法）或由图可知，当n=1时，a1=6，可排除B答案当n=2时，a2=10，可排除CD答案故答案为A点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）5（5分）（2012秋未央区校级期中）设等差数列an的前n项之和为Sn，已知S10=100，则a4+a7=（）A12B20C40D100考点：等差数列的前n项和专题：计算题分析：要求a4+a7就要得到此等差数列的首项和公差，而已知S10=1
5、00，由等差数列的前n项和的通项公式可得到首项与公差的关系代入求出即可解答：解：由等差数列的前n项和的公式得：s10=10a1+d=100，即2a1+9d=20；而a4+a7=a1+3d+a1+6d=2a1+9d=20故选B点评：本题是一道基础计算题，要求学生会利用等差数列的通项公式及前n项和的公式进行化简求值，做题时学生应注意利用整体代换的数学思想解决数学问题6（5分）（2015春瑞安市校级期中）数列an中，已知a1=1，a2=2，an+2=an+1an（nN*），则a2015=（）A1B1C2D2考点：数列递推式专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由a1=1，a2=2，an+2=an+1
6、an可判断数列an的周期为6，从而求得解答：解：a1=1，a2=2，an+2=an+1an，a3=a2a1=21=1，a4=a3a2=12=1，a5=a4a3=11=2，a6=a5a4=2（1）=1，a7=a6a5=1（2）=1，a8=a7a6=1（1）=2，数列an的周期为6，且2015=3356+5，a2015=a5=2；故选C点评：本题考查了数列的递推公式的应用及数列周期性的应用，属于中档题7（5分）（2014奎文区校级模拟）在ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则ABC的形状是（）A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形但不是等边三角形考点：三角形
7、的形状判断专题：计算题；解三角形分析：将c+a+b=转化为以与为基底的关系，即可得到答案解答：解：=，=，c+a+b=ca+b（）=即c+b（a+b）=，P是BC边中点，=（+），c+b（a+b）（+）=，c（a+b）=0且b（a+b）=0，a=b=c故选A点评：本题考查三角形的形状判断，突出考查向量的运算，考查化归思想与分析能力，属于中档题8（5分）（2013春昆明校级期末）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a2、b2、c2成等差数列，则角B的取值范围是（）ABCD考点：等差数列的性质；余弦定理专题：计算题分析：由等差数列的定义和性质可得2b2=a2 +c2 ，再由余弦定
8、理可得 cosB=，利用基本不等式可得cosB，从而求得角B的取值范围解答：解：由题意可得 2b2=a2 +c2 ，由余弦定理可得 cosB=，当且仅当a=c时，等号成立又 0B，0B，即角B的取值范围是 故选B点评：本题主要考查余弦定理、等差数列的定义和性质，以及基本不等式的应用，求得cosB，是解题的关键二填空题（本大题共7小题，9-12每小题6分，其余每小题6分，共36分）9（6分）（2015春瑞安市校级期中）已知ABC中B=60，且边a=4，c=3，则边b=；ABC的面积等于3考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形分析：由余弦定理进行求解即可解答：解：B=60，且边a=4，c=3，b2
9、=a2+c22accosB=16+92=13，则b=，则ABC的面积S=3，故答案为：点评：本题主要考查余弦定理的应用，比较基础10（6分）（2015春瑞安市校级期中）已知数列an满足a1=2，an+1=an+n则a3a1=3，数列an的通项公式为考点：数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得an+1an=n，结合条件和累加法求出an，代入再求出a3a1的值解答：解：由题意可得：an+1an=n，a2a1=1，a3a2=2，anan1=n1，以上n1个式子相加可得，ana1=1+2+3+（n1）=，则an=2+=，a3a1=52=3，故答案为：3；点评：本题考查等差数列的前n项和公式
10、，以及累加法求数列的通项公式，属与中档题11（6分）（2015春瑞安市校级期中）从1到2015这2015个正整数中，有多少个3的倍数？671；有多少个被3除余1且被4除余2的整数？167考点：整除的定义专题：等差数列与等比数列分析：从1到2015这2015个正整数中，3的倍数构成一个以3为首项，以3为公差的等差数列，其中满足条件的最大的数为2013；被3除余1且被4除余2的整数构成一个以10为首项，以12为公差的等差数列，其中满足条件的最大的数为2014解答：解：从1到2015这2015个正整数中，3的倍数构成一个以3为首项，以3为公差的等差数列，故an=3n，其中满足条件的最大的数为2013
11、，当an=3n=2013时，n=671，故从1到2015这2015个正整数中，有671个3的倍数；被3除余1且被4除余2的整数构成一个以10为首项，以12为公差的等差数列，故bn=12n2，其中满足条件的最大的数为2014，当bn=12n2=2014时，n=167，故从1到2015这2015个正整数中，有167个被3除余1且被4除余2的整数故答案为：671，167点评：本题考查的知识点是等差数列，其中分析出满足条件的整数组成数列的公差和首项是解答的关键12（6分）（2015春瑞安市校级期中）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120点C在以OA，OB为半径的圆弧上，AOC=30如图所示，
12、若=x+y，其中x，yR，则x=；y=考点：平面向量的基本定理及其意义专题：平面向量及应用分析：建立坐标系，求出A，B，C的坐标，利用向量法结合向量的基本定理建立方程组关系进行求解即可解答：解：建立平面坐标系如图：则A（1，0），C（，），B（，），则=（，），=（1，0），=（，），=x+y，（，）=x（1，0）+y（，），即，即，故答案为：，点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，建立坐标系，利用向量的坐标公式是解决本题的关键13（4分）（2011河南模拟）ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量=（a+b，sinC），=（a+c，sinBsinA），若，则角B的大小为考点
13、：平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；正弦定理专题：向量法分析：利用两向量平行的充要条件求出三角形的边与角的关系，利用正弦定理将角化为边，再利用余弦定理求出B的余弦，求出角解答：解：（a+b）（sinBsinA）=sinC（）由正弦定理知（a+b）（ba）=c（）即由余弦定理知2accosB=cosB=B（0，）B=故答案为点评：本题考查向量平行的充要条件、三角形的正弦定理、余弦定理14（4分）（2015春瑞安市校级期中）如图圆C半径为1，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且对任意t（0，+）恒成立，则=1考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析
14、：两边平方，设=m，整理可得t22tm（12m）0，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，解不等式即可解答：解：，|t|，两边平方可得：22t+t222+2，设=m，则有：t22tm（12m）0，则有判别式=4m2+4（12m）0，化简可得（m1）20，即m=1，即有=1，故答案为：1点评：本题考查平面向量的运用，考查平方法的运用，考查向量的平方即为模的平方，考查二次不等式恒成立的求法，注意运用判别式小于等于0，考查运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题15（4分）（2015春瑞安市校级期中）已知非零向量的交角为600，且，则的取值范围为考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分
15、析：首先通过=1平方后结合基本不等式得到然后将平方，展开求出范围解答：解：非零向量的交角为600，且，=1，所以，所以当且仅当=1时取等号=2+1，所以12+13所以的取值范围为（1，；故答案为：点评：本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题三、解答题：（本大题共5小题，共74分）16（15分）（2015春瑞安市校级期中）已知an是等差数列，其中a1=13，a4=7（1）求an的通项；（2）数列an前多少项和最大？最大和为多少？（3）求|a1|+|a3|+|a5|+|a7|+|a9|+|a11|值考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列
16、的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据等差数列的定义求出公差，即可求an的通项；（2）根据数列an前n项公式结合一元二次函数的性质即可得到结论（3）结合等差数列的通项公式进行求和解答：解：（1）a1=13，a4=7，3d=a4a1=713=6，d=2an=132（n1）=152n（5分）（2），当n=7时，sn取最大值s7=49（10分）（3）当n7时，an0，当n7，an0，|a1|+|a3|+|a5|+|a11|=13+9+5+1+3+7=38（15分）点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的求解，考查学生的计算能力17（15分）（2015春瑞安市校级期中）在ABC中，
17、角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，A=，cosB=（1）求sinC的值；（2）若2c=b+2，求三边a，bc的长，并求ABC的面积考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形分析：（1）利用两角和差的正弦公式即可求sinC的值；（2）根据正弦定理求出a，b，c的值，结婚三角形的面积公式进行求解，解答：解（1）A=，cosB=，（2）cosB=sinB=，则设a=7k，b=8k，c=5k，由2c=b+2得：10k=8k+2，k=1所以a=7，b=8，c=5，则点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键18（14分）（2015春瑞安市校级期中）如图所示B岛在
18、A岛南偏东750方向，距离A岛海里，A岛观察所发现在B岛正北方向与A岛的北偏东600方向的交点处D有海上非法走私交易活动，A岛观察人员马上通知在B岛东北方向，距离B岛7海里C处的缉私艇在半小时内赶到D处，求缉私艇的速度至少每小时多少海里？考点：解三角形的实际应用；正弦定理专题：解三角形分析：根据正弦定理和余弦定理结合三角形的边角关系进行求解即可解答：解：在ABD中，DAB=180600750=450，ADB=60，AB=4，由正弦定理得：（6分）在BDC中，DBC=45，（12分）海里/小时，缉私艇的速度至少每小时10海里（14分）点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理建立方
19、程关系是解决本题的关键19（15分）（2015春瑞安市校级期中）如图所示，已知四边形ABCD是矩形，M，N分别是AD，BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，PM与QN交于R，A是原点，B（2，0），C（2，1），D（0，1），P（t，1），Q（t，0），（1）若，求t的值（2）求证：R，A，C三点共线考点：平面向量的综合题；平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算专题：平面向量及应用分析：（1）求出相关向量，利用，求解即可（2）R，M，P三点共线，设出，R，N，Q三点共线，可设，然后列出方程组求解证明即可解答：解：（1）（3分），所以，（6分）（2）R，M，P三点共线，可设，所以R，N，Q
20、三点共线，可设，所以（10分）根据平面向量的基本定理得：，解得：所以=所以R，A，C三点共线（15分）点评：本题考查向量的应用，向量共线与垂直条件的应用，考查计算能力20（15分）（2015春瑞安市校级期中）已知，函数 f（x）=（xR）（1）若a=1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a1且不等式f（x）2x3对一切实数xR恒成立，求a的取值范围考点：函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：（1）求出a=1的函数f（x）的解析式，去绝对值，解方程即可得到；（2）将f（x）写成分段函
21、数的形式，由二次函数的对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围；（3）设g（x）=f（x）（2x3），不等式f（x）2x3对一切实数xR恒成立，等价于不等式g（x）0对一切实数xR恒成立求出xa和xa的值域，求得最小值，解不等式，即可得到所求范围解答：解：f（x）=x2+（x1）|xa|（xR）（1）当a=1时，故有f（x）=x2+（x1）|x+1|，即有，当x1时，由f（x）=1，有2x21=1，解得x=1或x=1，当x1时，f（x）=1恒成立，方程的解集为x|x1或x=1；（2），若f（x）在R上单调递增，则有，解得，当时，f（x）在R上单调递增；（3）设g（x）=f（x）（2x3），则，不等式f（x）2x3对一切实数xR恒成立，等价于不等式g（x）0对一切实数xR恒成立a1，当x（，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a22a+3，+），由于a22a+3=（a1）2+22，所以g（x）0成立 当xa，+）时，由a1，知，g（x）在处取最小值，令，得3a5，又a1，所以3a1综上，a3，1）点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，含绝对值函数的单调性和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题