1、11.1.2 余弦定理2目标导航 预习引导 学习目标1.会用向量法证明余弦定理;2.记住余弦定理及其推论,并能用它们解决一些简单的三角度量问题.重点难点重点:能利用余弦定理求三角形中的边角问题;难点:余弦定理的推导及能利用正弦定理、余弦定理解决综合问题.3目标导航 预习引导 1.余弦定理 余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.符号语言a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.余弦定理推论cos A=b2+c2-a22bc,cos B=a2+c2-b22ac,cos C
2、=a2+b2-c22ab.4目标导航 预习引导 2.余弦定理及其推论的应用余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题:一类是已知两边及夹角解三角形;另一类是已知三边解三角形.预习交流在解三角形的过程中,求某一个角有时既可以用余弦定理,也可以用正弦定理,两种方案有什么利弊呢?提示:用余弦定理求角时,运算量较大,但角与余弦值是一一对应的,无需讨论;而用正弦定理求角时,运算量较小,但由于在区间(0,)上角与正弦值不是一一对应的,一般情况下一个正弦值可对应两个角,往往要依据角的范围讨论解的情况.5问题导学 当堂检测 一、已知两边及一角解三角形活动与探究在三角形中,已知两边及一边的对角解三角形时,可
3、用正弦定理求解,能否用余弦定理解该三角形呢?若能,请说一说在解法上有何优点?提示:已知两边及一边的对角解三角形时,也可用余弦定理求解,设另一边为 x,利用余弦定理列出方程,求出 x,这种解法的优点是求出的 x只要为正,都满足题意,不会漏解或增解.6问题导学 当堂检测 例 1(1)在ABC 中,若 b=3,c=3 3,B=30,则 a=.(2)在ABC 中,ABC=4,AB=2,BC=3,则 sinBAC=.思路分析:(1)由余弦定理建立关于 a 的方程,解出 a.(2)由余弦定理求出 AC 边后利用正弦定理求 sinBAC.答案:(1)3 或 6(2)3 10107问题导学 当堂检测 解析:(
4、1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得9=a2+(3 3)2-2a3 3cos 30,化简得 a2-9a+18=0,解得 a=3 或 a=6.(2)由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BABCcosABC=5,于是AC=5.由正弦定理得sin=sin,因此 sinBAC=3 1010.8问题导学 当堂检测 迁移与应用1.在ABC 中,已知 C=120,边 a 与边 b 是方程 x2-3x+2=0 的两个根,则 c 的值为().A.3B.7C.3D.7答案:D解析:a,b 是方程 x2-3x+2=0 的两个根,a+b=3,ab=2.由余弦定理知 c2=a2+b2-2abcos
5、C=(a+b)2-2ab-2abcosC=9-22+2212=7.c=7.9问题导学 当堂检测 2.在ABC 中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=6,c=2 3,则 b=.答案:2解析:b2=a2+c2-2accos B=4+12-222 3 32=4,b=2.10问题导学 当堂检测 3.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A=120,a=7,b+c=8,求 b,c.解:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc(1+cos A),所以 49=64-2bc 1-12,即 bc=15.由 +=8,=15,解得 =3,=5 或
6、 =5,=3.11问题导学 当堂检测(1)当夹角为90,即三角形为直角三角形时满足勾股定理,勾股定理是余弦定理的特殊情况,余弦定理是勾股定理的推广.(2)已知两边及一角的解三角形问题,当角为两边的夹角时,可直接使用余弦定理;当角为一边的对角时,可直接使用正弦定理(应注意解的个数),也可以使用余弦定理,利用余弦定理列出关于 c 的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出 c 边的长,这样可免去判断取舍的麻烦.12问题导学 当堂检测 二、已知三边解三角形活动与探究1.怎样由 sin Asin Bsin C=2145 得到ABC 的三边关系?如何求角 A?提示:由正弦定理变形可得 sin Asin B
7、sin C=abc=2145,可令a=21k,b=4k,c=5k,利用余弦定理得 cos A=2+2-22,从而求出角 A.2.怎样由 a=2b=3c 求角 A 的余弦值?提示:把边 b,c 都用边 a 表示出来,再利用余弦定理求解即可.13问题导学 当堂检测 例 2(1)在ABC 中,若 6a=4b=3c,则 cos B=().A.154B.34C.3 1516D.1116(2)设ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sinA=5sin B,则角 C=().A.3B.23C.34D.56思路分析:(1)设 6a=4b=3c=12k,求出 a,b,c 的
8、值,再用余弦定理求角.(2)先用正弦定理将 3sin A=5sin B 化为边的条件,再用余弦定理求解.答案:(1)D(2)B14问题导学 当堂检测 解析:(1)设 6a=4b=3c=12k,则 a=2k,b=3k,c=4k,由余弦定理得 cos B=2+2-22=(2)2+(4k)2-(3k)2224=1116.(2)3sin A=5sin B,3a=5b.又 b+c=2a,由可得 a=53b,c=73b.cos C=2+2-22=2+53b 2-73b 22532=-12.C=23.15问题导学 当堂检测 迁移与应用1.若ABC 的边 a,b,c 满足 a2+b2-c2=4,且 C=3,则
9、 ab 的值为().A.4B.8C.4 33D.8 33答案:A解析:由余弦定理得 cos C=2+2-22,即12=42,解得 ab=4.16问题导学 当堂检测 2.若ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b2=ac,c=2a,则 cosB 的值为().A.14B.34C.24D.23答案:B解析:cos B=2+2-22=2+42-2222=34.17问题导学 当堂检测 3.在ABC 中,已知 BC=7,AC=8,AB=9,试求 AC 边上的中线长.解:由余弦定理的推论得:cos A=2+A2-B22=23.设 AC 边上的中线长为 x,由余弦定理得x2=2 2+AB2
10、-22 ABcos A=49.故 x=7,即 AC 边上的中线长为 7.18问题导学 当堂检测 已知三边求三角,应用余弦定理,根据大边对大角原则,可以先求较小的两角;当已知条件是边的比例关系或角的正弦的比例关系时,可以引入字母参数 k,将 a,b,c 用 k 表示,再由余弦定理解得.19问题导学 当堂检测 三、判断三角形形状活动与探究1.判断三角形形状的主要思路是什么?提示:判断三角形形状的主要思路是利用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.2.在等式中用边角互化统一为边或角时,若存在公因式,能否两边同时约去公因式?若同时约去,会有什么影响?提示:在边角互化中,若两边有
11、公因式,不要约去公因式,应利用移项提取公因式.若同时约去,会造成漏解(公因式为零时求出的角或边也可能是要求的值).20问题导学 当堂检测 例3已知ABC,角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,满足acosA+bcos B=ccos C,判断ABC 的形状.思路分析:用余弦定理将 cos A,cos B 化为边的形式,再整理判断ABC 的形状.21问题导学 当堂检测 解:由余弦定理得 cos A=2+2-22,cos B=2+2-22,cos C=2+2-22,代入已知条件得a2+2-22+b2+2-22-c2+2-22=0.去分母整理得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c
12、2(c2-a2-b2)=0.展开整理得(a2-b2)2=c4.于是得 a2-b2=c2,即 a2=b2+c2 或 b2=a2+c2.所以ABC 是直角三角形.22问题导学 当堂检测 迁移与应用1.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则ABC 是().A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形答案:A23问题导学 当堂检测 解析:2c2=2a2+2b2+ab,a2+b2-c2=-12ab.cos C=2+2-22=-12ab2=-140.90C180.三角形为钝角三角形.24问题导学 当堂检测 2.在ABC 中,a,b,c 分
13、别是角 A,B,C 的对边,若 a=2bcos C,试判断ABC 的形状.解法一:cos C=2+2-22,代入 a=2bcos C,得 a=2b2+2-22,a2=a2+b2-c2,即 b2-c2=0.b=c.ABC 为等腰三角形.25问题导学 当堂检测 解法二:根据正弦定理 sin=sin=sin=2R,得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,代入已知条件得 2Rsin A=4Rsin Bcos C,即 sin A=2sin Bcos C,A=-(B+C),sin A=sin(B+C).sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C.sin Bcos C-cos B
14、sin C=0.sin(B-C)=0.又-B-C,B-C=0,即 B=C.ABC 是等腰三角形.26问题导学 当堂检测 利用正余弦定理判断三角形的形状的策略:27问题导学 当堂检测 12 3 4 51.在ABC 中,若 sin2A+sin2Bsin2C,则ABC 的形状是().A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定答案:A解析:由 sin2A+sin2Bsin2C,得 a2+b2c2,所以 cos C=2+2-220.所以C 为钝角,即ABC 为钝角三角形.28问题导学 当堂检测 1 23 4 52.在ABC 中,a=1,B=60,c=2,则 b 等于().A.1B.2C.3D
15、.3答案:C解析:b2=a2+c2-2accos B=1+4-21212=3.故 b=3.291 2 34 5问题导学 当堂检测 3.在ABC 中,c2-a2-b2=3ab,则角 C 为().A.60B.45或 135C.150D.30答案:C解析:cos C=2+2-22=-3ab2=-32,C=150.301 2 3 45问题导学 当堂检测 4.在ABC 中,已知 sin Asin Bsin C=357,则此三角形的最大内角的度数等于 .答案:120解析:由正弦定理可得 abc=357,不妨设 a=3,b=5,c=7,则 c 边最大,角C 最大.cos C=2+2-22=32+52-72235=-12.0C180,C=120.311 2 3 4 5问题导学 当堂检测 5.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2=3bc,sin C=2 3sinB,则 A=.答案:6解析:sin C=2 3sin B,由正弦定理得 c=2 3b.a2-b2=3bc,cos A=2+2-22=2-3bc2=2 3bc-3bc2=32.A=6.