1、第4节指数函数【选题明细表】知识点、方法题号根式与指数幂运算1,8,10指数函数的图象3,11指数函数的性质2,4,5,7,9,12指数函数的图象与性质的综合应用6,13,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于(B)(A)5(B)7(C)9(D)11解析:由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得22a+2-2a+2=9,即22a+2-2a=7,故f(2a)=7.2.设a=22.5,b=2.50,c=（）2. 5,则a,b,c的大小关系是(C)(A)acb(B)cab(C)abc(D)bac解析:b=2.50=1,c=()2.5
2、=2-2.5,则2-2.5122.5,即cba.3.函数y=(0a0时,函数是一个指数函数,因为0a1,所以函数在(0,+)上是减函数;当x0时,函数图象与指数函数y=ax(x0,0a1)的图象关于x轴对称,在(-,0)上是增函数.4.函数y=()的值域为(A)(A),+)(B)(-,(C)(0, (D)(0,2解析:因为2x-x2=-(x-1)2+11,又y=()t在R上为减函数,所以y=()()1=,即值域为,+).5.(2016唐山模拟)已知函数f(x)=+a,若f(x)是奇函数,则a等于(B)(A)0(B)(C)(D)+1解析:因为函数f(x)=+a,且是奇函数,所以f(1)+f(-1
3、)=0,即+a+a=0,2a=1,a=.6.函数f(x)=在(-,+)上单调,则a的取值范围是(A)(A)(-,-(1,(B)-,-1),+)(C)(1, (D),+)解析:由题意知或解得10,a1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(B)(A)(-,2(B)2,+)(C)-2,+)(D)(-,-2解析:由f(1)=,得a2=,所以a=(a=-舍去),即f(x)=()|2x-4|,由于y=|2x-4|在(-,2上递减,在2,+)上递增,所以f(x)在(-,2上递增,在2,+)上递减.8.(2016温州模拟)设函数f(x)=则f(-2)=.若f(a)=1,则实数a=.解析:因为函数f(x
4、)=所以f(-2)=()-2=22=4;又因为f(a)=1,所以当a0时,()a=1,解得a=0,满足题意;当a0时,log2a=1,解得a=2,满足题意.综上,实数a的值为2或0.答案:42或09.已知函数f(x)=2x-,函数g(x)=则函数g(x)的最小值是.解析:当x0时,g(x)=f(x)=2x-为单调增函数,所以g(x)g(0)=0;当xg(0)=0,所以函数g(x)的最小值是0.答案:010.化简下列各式:(1)(0.06)-2.5-0;(2)(-).解:(1)原式=()-()-1=()3-()3-1=-1=0.(2)原式=(-2)=a=a2.能力提升练(时间:15分钟)11.若
5、函数y=ax+b的图象如图,则函数y=+b+1的图象大致为(C)解析:由图可知0a1,-2b0时,-x0,f(-x)=()-x=ex=f(x),当x0,f(-x)=e-x=f(x),则有在R上,f(-x)= f(x),则f(x)为偶函数,且在x0上递减.对于A.f(-x)=-f(x),则为奇函数,则A不满足;对于B.则函数为偶函数,在x0上递减,则B满足;对于C.f(-x)=(-x)3-3=-x3-3f(x),则不为偶函数,则C不满足;对于D.f(-x)=f(x),则为偶函数,当x0时,y=lo(-x)递增,则D不满足.故选B.13.已知函数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列
6、结论中,一定成立的是.a0,b0,c0;a0;2-a2c;2a+2c2.解析:画出函数f(x)=|2x-1|的大致图象(如图所示),由图象可知:a0,b的符号不确定,0c|2c-1|,即1-2a2c-1,故2a+2c2,所以2a+c1,所以a+cc,所以2-a2c,不成立.答案:14.已知函数f(x)=().(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值.解:(1)当a=-1时,f(x)=(),令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而y=()t在R上单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减,在(-2,+
7、)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+),单调递减区间是(-,-2).(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=()h(x),由于f(x)有最大值3,且f(x)在R上单调递减,所以h(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.15.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围.解:(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1.从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.经检验a=2适合
8、题意,所以所求a,b的值为2,1.(2)由(1)知f(x)=-+.由上式易知f(x)在(-,+)上为减函数.又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0,等价于f(t2-2t)-2t2+k.即对一切tR有3t2-2t-k0.从而判别式=4+12k0,解得k0,a1)有两个不等实根,则a的取值范围是(D)(A)(0,1)(1,+)(B)(0,1)(C)(1,+) (D)(0,)解题关键:转化与化归思想,分类讨论思想与数形结合思想的应用.解析:方程|ax-1|=2a(a0且a1)有两个实数根转化为函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点.当0a1时,如图(1),所以02a1,即0a1时,如图(2),而y=2a1不符合要求.3.函数f(x)=()的单调递减区间为,值域为.解题关键:利用复合函数“同增异减”法则求f(x)的单调减区间,再利用指数函数与二次函数的图象与性质求f(x)的值域.解析:令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而y=()t在R上单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减,又g(x)=-(x+2)2+77,所以f(x)()7=3-7.答案:(-,-2)3-7,+)