1、第三章章末跟踪测评(时间：120分钟满分：150分)考点对应题号错题序号：_错因分析：基础训练能力提升1.空间几何体的结构2,3,5102.空间几何体的直观图7173.空间几何体的表面积与体积1,4,6,9,11，13,14,15,198,12,16,18，20,21,22一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A48B64 C16D96B解析设正方体的棱长为a，则6a296，所以a4，于是正方体的体积为a364.2下列命题中，正确的是()A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B侧面都是等腰三角
2、形的棱锥是正棱锥C侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱D解析认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C项都不够准确；B项中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确3观察下列四个几何体，其中判断正确的是()A是棱台B是圆台C是棱锥D不是棱柱C解析图不是由棱锥截来的，所以不是棱台；图上下两个面不平行，所以不是圆台；图前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱；很明显是棱锥4若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多
3、面体的体积是()A BC DD解析易知V18.5已知某圆台一个底面的面积为36，母线长为5，圆台的高为2，则此圆台另一底面圆的半径为()A5B7 C5或7D9C解析圆台的轴截面为一个等腰梯形，如图所示，易知AE1，其中一个底面圆的半径为6.故若CD12，则可知另一底面圆的半径为7；若AB12，则可知另一底面圆的半径为5.故选C项6圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A120B150C180D240C解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，依题意，rlr23r2，所以l2r，所以侧面展开图扇形的弧度数为.故选C项7已知水平放置的ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的
4、直观图，其中BOCO1，AO，那么原ABC是一个()A等边三角形B直角三角形C三边中只有两边相等的等腰三角形D三边互不相等的三角形A解析依据斜二测画法的原则可得，BCBC2，AO2AO2，又因为AOBC，所以ABAC2.故ABC是等边三角形8侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是()Aa2Ba2 Ca2Da2A解析因为侧面都是直角三角形，故侧棱长等于a，所以S全a232a2.9三棱锥VABC的中截面是A1B1C1，则三棱锥VA1B1C1与三棱锥AA1BC的体积之比是()A12B14C16D18B解析中截面将三棱锥分成高相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为14，将
5、三棱锥AA1BC转换为三棱锥A1ABC，则三棱锥VA1B1C1与三棱锥A1ABC的高相等，底面积之比为14，故其体积之比为14.10作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱的半径之比是()A21B23 C1D2A解析实质是正三角形外接圆半径与其内切圆半径之比，如图，2.11如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，AD4，AA13，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，记V1VAEA1DFD1，V3VB1E1BC1F1C，其余部分的体积为V2，若V1V2V3141，则截面A1EFD1的面积为()A4B8C4D16C解析三部分都是棱柱，分别为三棱
6、柱AA1EDD1F、三棱柱B1BE1C1CF1和四棱柱A1EBE1D1FCF1，显然它们等高，设为h，三棱柱的底面面积分别为S1，S3，四棱柱的底面面积为S2，由V1：V2：V31：4：1，得(S1h)：(S2h)：(S3h)1：4：1.所以S1：S2：S31：4：1，所以S四边形A1EBE14SA1AE4SBB1E1，设AEa，则BE6a，所以(6a)34a3，即a2.所以A1E.所以S四边形A1EFD144.12若一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则球的体积为()ABCDB解析由已知得该六棱柱为正六棱柱，底面边长
7、为，则底面面积为62，所以正六棱柱的侧棱长h，易知球心在正六棱柱的体对角线上，设球的半径为R，则2R2，所以R1，所以V球13.故选B项二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13如图所示，从一个半径为(1) m的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是以正方形的边为边的四个正三角形的纸板，以此为表面(舍弃阴影部分)折叠成一个正四棱锥，则该正四棱锥的体积是_.解析由题可知正四棱锥的侧棱长和底面边长都是2 m，棱锥的高是 m，故该正四棱锥的体积V22(m3)答案 m314已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为12，则这个四棱柱的体积为_.解析设
8、正四棱柱的底面边长为a，则球的直径2R，所以S表4R2412，解得a2，所以正四棱柱的体积V2a28.答案815已知三棱锥ABCD的表面积为S，其内有半径为r的内切球O(球O与三棱锥ABCD的每个面都相切，即球心O到ABCD每个面的距离都为r)，则三棱锥ABCD的体积为_.解析连接AO，BO，CO，DO，则三棱锥ABCD被分割成为四个小三棱锥，即OABC，OABD，OACD，OBCD，并且这四个小三棱锥的顶点都为O，四条高都为r，底面分别为ABC，ABD，ACD，BCD故有VABCDVO ABCVO ABDVO ACDVO BCDSABCrSABDrSACDrSBCDr(SABCSABDSAC
9、DSBCD)rSr.答案Sr16圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径r _cm.解析水的体积加上三个球的体积等于圆柱的体积即r283r3r26r，所以r4.答案4三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)某高速公路收费站入口处的安全标示墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.(1)求该安全标识墩的体积；(2)求该安全标识墩的侧面积解析(1)该安全标识墩的体积VVPEFGHVABCDEFGH4026040220
10、64 000(cm3)(2)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合直观图可知OP60 cm，OGEG20 cm，则PG20(cm)于是四棱锥PEFGH的侧面积S14401 600(cm2)，四棱柱EFGHABCD的侧面积S2440203 200(cm2)，故该安全标识墩的侧面积SS1S21 600(2)cm2.18(12分)一块边长为10 cm的正方形铁块按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器(1)试把容器的容积V表示为x的函数；(2)若x6，求图2中侧面与底面所成的二面角的正弦值解析(1)依题意可知底面ABCD为正方形，边长为x cm.取正
11、方形中心为O，BC中点为F，连接OE，OF，EF.在RtEOF中，EF5 cm，OFx cm，所以EO.于是Vx2(cm3)依题意，函数的定义域为x|0x10(2)在侧面等腰三角形EBC中，EFBC，OFBC，则EFO为侧面与底面所成二面角的平面角因为底边长BC6，EF5，所以四棱锥的高EO4，在RtEOF中，sinEFO.所以图2中侧面与底面所成的二面角的正弦值为.19(12分)如图，一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱(1)试用x表示圆柱的体积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少？解析(1)设内接圆柱的高为h，因为圆锥的底面半径为2，高为6，内接圆
12、柱的底面半径为x，由相似三角形得，所以h63x.所以圆柱的体积Vx2(63x)(0x2)(2)由(1)可知圆柱的侧面积为S侧2x(63x)6(x22x)6(x1)26(0x2)所以当x1时，(S侧)max6.所以当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为6.20(12分)如图，正方体ABCDABCD的棱长为a，连接AC，AD，AB，BD，BC，CD，得到一个三棱锥ABCD(1)求三棱锥ABCD的表面积与正方体的表面积的比值；(2)求三棱锥ABCD的体积解析(1)因为ABCDABCD是正方体，所以ABACADBCBDCDa，所以三棱锥ABCD的表面积为4aa2a2.而正方体的表面积为6a
13、2，故三棱锥ABCD的表面积与正方体表面积的比值为.(2)三棱锥AABD，CBCD，DADC，BABC是完全一样的，所以V三棱锥ABCDV正方体4V三棱锥AABDa34a2a.21(12分)如图，降水量是指水平地面上单位面积的降水深度，用上口直径为38 cm，底面直径为24 cm，深度为35 cm的圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水高度正好是桶深的，求本次降雨的降水量是多少(精确到1 mm)?解析由所盛雨水高度正好是桶深的可知，水深为5(cm)，设水面半径为r，如图所示，过点B作BCAC，交水面于点C，则AC(3824)7(cm)在ABC中，即7，所以r13(cm)所
14、以V水5(1221321213)(cm3)，S上底R2192361(cm2)，所以2.2(cm)22(mm)所以本次降水量约是22 mm.22(12分)一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.(1)试确定R与r的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；(2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比解析(1)不妨设球的半径为4，即R4.则球的表面积为64，圆锥的底面积为12，所以圆锥的底面半径r2，所以rR，则球心到圆锥底面的距离OO1、球的半径R以及圆锥底面的半径r三者可以构成一个直角三角形，由此可以求得球心到圆锥底面的距离OO12，所以较小圆锥的高为422.同理可得较大圆锥的高为426.又由这两个圆锥的底面相同，所以较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们的高之比，即31.(2)由(1)可得两个圆锥的体积和为(2)2832，球的体积为43，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为3238.