1、第三章 三角函数、解三角形第六节 正弦定理和余弦定理(2014辽宁卷改编)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为，b，c，且 c.已知 b3，c6，cos B13.求：(1)和 c 的值；(2)cos(BC)的值解：(1)由余弦定理 b22c22ccos B(c)283ac.又 b3，ac6，(ac)225，即c5，由联立，解得2，c3或3，c2.因为c，所以3 且 c2.(2)在ABC 中，sin B 1cos2B2 23.由正弦定理，得 sin Ccbsin B232 23 4 29.又b3c，知 C 为锐角，因此 cos C 1sin2C79.于是 cos(BC)cos Bcos
2、Csin Bsin C13792 23 4 29 2327.1正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的 2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用(1)在ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为，b，c，面积为 S，若 S2(bc)2，则 cos A 等于()A.45 B45 C.1517 D1517解析：S2(bc)22b2c22bc(14sin A1)，由余弦定理可得14sin A1c
3、os A，结合 sin2Acos2A1，可得 cos A1517.答案：D(2)(2015重庆卷)在ABC 中，B120，AB 2，A 的角平分线 AD 3，则 AC_解析：如右图，在ABD 中，由正弦定理，得 ADsin BABsinADB，sinADB 22.ADB45，BAD1804512015.BAC30，C30，BCAB 2.在ABC 中，由正弦定理，得 ACsin B BCsin A，AC 6.答案：6(经典母题)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为，b，c，若 bcos Cccos Bsin A，则ABC 的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定解析：由
4、bcos Cccos Bsin A 及正弦定理，有 sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，则 sin(BC)sin2A，则 sin(BC)sin Asin2A，即 sin A1.所以A2.即ABC 为直角三角形答案：A【探究迁移 1】若将本例条件改为“(2b2)sin(AB)(2b2)sin(AB)”，试判断三角形的形状解析：(2b2)sin(AB)(2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin B2，即2cos Asin Bb2sin Acos B.法一：由正弦定理知2Rsin A，b2Rs
5、in B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又 sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC 中，02A2，02B2，2A2B 或 2A2B，AB 或AB2.ABC 为等腰三角形或直角三角形 法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2c222bcb22c2b22c，2(b2c22)b2(2c2b2)，(2b2)(2b2c2)0，2b20 或2b2c20.即b 或2b2c2.ABC 为等腰三角形或直角三角形【探究迁移 2】若将本例条件改为“cos2B2ac2c”，试判断三角形的形状解：由 cos2B2ac2c，得
6、1cos B2ac2c，cos Bac，即 ccos Ba，sin Ccos Bsin Asin(BC)，cos Csin B0，cos C0，C90，ABC 为直角三角形1判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能(2015课标全国卷)已知，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若 b，求 cos B；(2)设 B90，且 2，求ABC 的面积解：(1)由题设
7、及正弦定理可得 b22ac.又b，可得 b2c，2c.由余弦定理可得 cos B2c2b22c14.(2)由(1)知 b22c.因为 B90，由勾股定理得2c2b2，故2c22c，进而可得 c 2.所以ABC 的面积为12 2 21.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式 S12bsin C12csin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的转化 3(经典再现)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为，b，c，已知 bcos Ccsin B.(1)求 B；(2)若 b2，求ABC 面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B 又 A(BC)，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 由和 C(0，)得 sin Bcos B.又 B(0，)，所以 B4.(2)ABC 的面积 S12csin B 24 c.由已知及余弦定理得 42c22ccos4.又2c22c，故c42 2，当且仅当c 时，等号成立 因此ABC 面积的最大值为 21.