1、2016 年竞赛与自主招生专题第十讲数列的极限与数列综合 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，数列是自主招生必考的一个重要内容之一，数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用等。一、知识精讲一数列极限的定义：一般地，如果
2、当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数，那么就说数列以为极限.注：不一定是中的项.二几个常用的极限：（1）（为常数）;（2）（3）（）.（4）（，且）（5）三数列极限的四则运算法则：设数列、，当,时： （）四无穷等比数列：若无穷等比数列，其所有项的和（各项的和）为：五常见的数列极限可以归纳为两大类: 第一类是两个关于自然数的多项式的商的极限: 当时,上述极限不存在. 第二类是关于的指数式的极限: 当或时,上述极限不存在.一 特殊数列的极限：，（1） 是常数）； （2） ；（3）（，为常数）； （4） 下面证明第四个公式证明：令，取自然对数得到，令，得，由洛比达法则得，即所以：，则，
3、即另外，数列是单调递增的，理由如下：由个正实数的几何平均数它们的算术平均数）有，所以。二 夹逼定理：如果数列、以及满足下列条件：（1） 从某项起，即当（其中），有（）；（2） 且；那么数列的极限也存在，且三分期付款问题：分为两种类型：等额本金、等额本息。等额本金是这样一种还款方式：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。这样，由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，因此贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数额越来越少。等额本金贷款计算公式：每月还款金额=（贷款本金还款月数）+（本金-已归还本金累计额）每月利率。等额本息是这样一种还款方式：在
4、还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）。设贷款本金为，月利率为，还款月数为，则每月还款额计算公式为：。二、 竞赛题目精练例1（2006复旦）设是的展开式中项的系数（），则极限（ ）（A）15 （B）6 （C）17 （D）8答案：D分析与解答：，故，所以。例2（2009清华）的整数部分为，小数部分为。（1） 求；（2） 求；（3） 求。分析与解答：（1）由，又，故。（2） 。（3） ，故。又，故，所以。例3（2000上海交大）如图所示，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上。试求的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在。分析与解答：（因为），即。又，故
5、，即。第个三角形面积，而不存在极限（见第八讲习题16），故也不存在极限，不存在极限。例4（2002上海交大）两人轮流掷一个骰子，第一次由先掷，若掷到一点，下次仍由掷；若掷不到一点，下次换掷。对同学同样适用该规则。如此依次投掷，记第次由掷的概率为。（1） 求与的关系；（2） 求。分析与解答：（1），。（2）解法一：两边同时取极限，设，则。 解法二：设，解得。 ，故，。例5（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.（1）证明：，且；（2）证明：当时，成等比数列.分析与解答： （1）具有性质P，与中至少有一个属于，由于，故. w.w.w.c.o.m 从而，.， ，故. 由
6、具有性质可知.又，从而：. w.w.w.c.o.m （2）由（1）知，当时，有，即， ，由具有性质可知. ，得，且，即是首项为1，公比为成等比数列.k.s.5.例6（2009湖南卷理）对于数列若存在常数，对任意的，恒有 则称数列为（1） 首项为1，公比为的等比数列是否为？请说明理由；（2） 设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：数列是 数列不是B组：数列是 数列不是请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论； （3） 若数列、都是，证明：数列也是分析与解答：（1）设满足题设的等比数列为,则，于是 因此- +-+-=因为所以即 故首
7、项为1，公比为的等比数列是。（2）命题1：若数列是，则数列是 此命题为假命题。 事实上，设，易知数列是，但 由的任意性知，数列是，此命题为假命题。命题2：若数列是，则数列是此命题为真命题事实上，因为数列是，所以存在正数，对任意的有 即。于是 所以数列是。（III）若数列、都是，则存在正数，对任意的有 注意到 同理： 记，则有因此 +故数列是数列 例7（2000上海交大）求极限分析与解答：因为，从而转化为积分；由牛顿-莱布尼茨公式（其中满足）得：。所以例8（2007武大）设二次函数过点，且满足。数列满足。（1） 确定的表达式；（2） 证明：；（3） 证明：。分析与解答：（1）令，由。 令，有，故
8、，所以，即。 再由，知。此式对任意恒成立，必有且，整理得。故。（2） 。下面用数学归纳法证明。 时是显然的。设时，则。综上，对。，故。（3） 由（2）知。因为 ，所以。令，故构成以2为公比的等比数列，故。 时，； 时，故对一切，有。从而 。三、 真题训练1.（2007复旦）设，则（ ）。（A）2 （B） （C） （D）642. （2010同济）设、都是公差为2的等差数列，其首项满足：。设，则数列的通项 。3. （2005复旦） 。4. （2003复旦）设，则 。5.（2008上海交大）数列中，此数列的通项公式为 。6. （2000复旦）设，其中为整数，求时，的极限。7.（2003复旦）一圆锥的
9、地面半径为12，高为16，球内切于圆锥，球内切于圆锥侧面，与球外切，依次类推。（1） 求所有这些球的半径的通项公式；（2） 所有这些球的体积分别为，求。8. （2008同济）设数列中，求。9. （2006清华）设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下的三个三角形内切圆面积之和，求。10.（2005上海交大）已知月利率为，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额关于的函数关系（贷款时间为2年）。真题训练答案1.【答案】A【分析与解答】：，。2.【答案】【分析与解答】：由知只有或若则；若则，综上，。3.【答案】1【分析与解答】：。4.【答案】5.【答案】6.【分析与解答】：
10、。7.【分析与解答】：（1）考虑轴截面（球大圆），显然这些圆的半径成等比数列。 。（2）。8.【分析与解答】：依题意， ，另一方面： 。由，知，且等号成立的条件是上式，统统取等号。即所以，又，所以，而由知从第3项起成公差为1的等差数列，且由前两项知，成等差数列，且，所以。9.【分析与解】：如图9-1，边长为的正三角形，其内切圆半径。于是，显然，数列是一个公比为的等比数列。由无穷递缩等比数列的求和公式，得 。10.【分析与解】：我们用两种方法考虑这个问题。解法一：设想有两家银行，月利率完全一样，均为，现从甲银行借款10000元，2年还清，从乙银行存款，每月存款元。2年后连本带利，应从银行取出；另一方面，从甲银行借款10000元，两年后连本带利共付。故。解法二：设第个月末还款元后欠银行金额为元，则，显然。由于 ，故。由等比数列求和公式易得。注：本题实际上提供了等额本息计算公式的推导方法。
