1、2016 年竞赛与自主招生专题第十四讲 概率统计、随机变量 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，排列组合、二项式定理、概率统计是自主招生必考的一个重要内容之一。一、知识精讲一随机事件的概率1.随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件一般用
2、大写英文字母等来表示；2.确定事件（1）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；必然事件和不可能事件合起来称为确定事件。3.事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，作P（A）.由定义可知0P（A）1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。4.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每
3、一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=。说明：使用公式P（A）=计算时，确定m、n的数值是关键所在，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。二互斥事件的概率1.相关概念（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件；（2）对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。2.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：（1）互斥事件研究的是两个事件之间的关系；（2）所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；（3）两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。 从集合角度来看，A、B两个事
4、件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A=U，A=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。2.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1。当计算
5、事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1P（）。对于n个互斥事件A1，A2，An，其加法公式为P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）。说明：分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。三独立事件的概率1.相关概念（1）相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件。（2）独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=Cpk（1p）nk。2.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：（1）相互独立也是
6、研究两个事件的关系；（2）所研究的两个事件是在两次试验中得到的；（3）两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的。注意互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。3.事件A与B的积记作AB，AB表示A与B同时发生。当A和B是相互独立事件时，事件AB满足乘法公式P（AB）=P（A）P（B），还要弄清，的区别。表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有，
7、但=。1. 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值（）的概率，则称下表为随机变量的概率分布，简称为的分布列。. .2. 数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为.则称为的数学期望（平均数，均值），简称为期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若（二项分布），则。3. 二项分布：（1）定义：如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是：（其中） 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，其中为参数，并记.（2）二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对次独立重复试验.关键是看某一事件是
8、否是进行次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4.几何分布：“”表示在第次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把次试验时事件发生记为，事不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.123 我们称服从几何分布，并记，其中5.几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型（2）在几何概型中，
9、事件的概率的计算公式为：（3）古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个（4）几何概型的两个特征：试验结果有无限多； 每个结果的出现是等可能的事件可以理解为区域的某一子区域，事件的概率只与区域的度量（长度、面积或体积）成正比，而与的位置和形状无关（5）解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率三、 典例精讲例1（2009复旦）某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为。现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（ ）。（A） （B
10、） （C） （D）分析与解答：先考虑一个母细胞，两次分裂后还有细胞存活的概率。这个概率应是。故两个这样的细胞，两次分裂后还有细胞存活的概率为，选A。例2（2012复旦）随机任取一个正整数，则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是（ ）。（A） （B） （C） （D）答案：D分析与解答：首先，一个正整数的三次方的个位数是1的正整数个位数字也必须是1.其次可试得1-100中只有71符合要求。而且末两位是71的均符合要求。故选D。例3体育彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码随机摇出7个有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号
11、码，也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？分析与解答： 体育彩票应本36个号码的36个球大小、重量等应该是一致的，严格说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形，和没有用过的球一样因此，当你把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的例4（2011复旦）在半径为1的圆周上随机选取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）答案：C分析与解答： 如图一，若为锐角三角形，当且
12、仅当的长度均小于。不妨设，则为锐角三角形的充要条件是由于，即为一个三角形MNP平面（如图二），且对应的点是是三条中位线围成的小三角形。故由几何概率模型知，所求构成锐角三角形的概率为。故选C。zA CB yx图一： 图二：例5（2012“华约”）系统内有个元件，每个元件正常工作的概率为，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率，并讨论的单调性。分析与解答：个元件中，恰有个正常工作，求系统正常工作的概率；恰有个元件正常工作的概率为恰有个元件正常工作的概率为。故。当有个元件时，考虑前个元件，为使系统正常工作，前个元件中至少有个元件正常工作。前个元件中恰有个正常工作，它的概率为
13、。此时后两个元件必须同时正常工作。所以这种情况下系统正常工作的概率为；前个元件中恰有个正常工作，它的概率为，此时后两个至少有一个正常工作即可。所以这种情况下系统正常工作的概率为。前个元件中至少有个元件正常工作，它的概率为。此时系统一定正常工作。故。（这里用到） 。故，当时，；当时，；当时，。例6（2011“华约”）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷次不连续出现三次正面向上的概率为，（1） 求；（2） 写出的递推公式，并指出单调性；（3） 是否存在？有何统计意义。分析与解答：（1）显然，；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故。（2） 共分三种情况：如果第次出
14、现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率是。综上，。由上知，所以，-，有所以时，单调递减，又易见。（3） 由（2）知时，单调递减，且显然有下界0，所以的极限存在，对两边同时取极限可得。其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者鼻
15、子和趋近于零。注：本题第三问用到了下面定理：单调递增（或递减）且有上界（或下界）的数列必有极限。例7（2011“卓越联盟”）一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为。（1） 求的数学期望；（2） 设，求；（3） 证明：的数学期望。分析与解答：（1）时，袋中白球的个数可能是个（即取出的是白球），概率为；也可能为个（即取出的是黑球），概率为，故。（2） 首先；时，第次取出来有个白球的可能性有两种：第次袋中有个白球，显然 每次取球后，球的总数保持不变，即个，（故此时黑球有个。）第
16、次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为。第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于每次球的总数为个，故此时黑球的个数是。这种情况发生的概率为。故。（3） 第次白球的个数的数学期望分为两类：若第次取出来的是白球，由于每次白球和黑球的总个数是，这种情况发生的概率是，此时白球的个数的数学期望为；若第次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是，此时白球的个数变为。故。例8（2010五校联考）已知基因型为AA、Aa、aa的比例为，且。（1） 求子一代AA、Aa、aa的比例；（2） 子二代与子一代比例是否相同？分析与解答：（1）父亲的基因有AA、Aa、aa三种情况，母亲的基因也有AA、Aa、aa三种情况，故
17、搭配起来有9种情况，我们把它列表如下：父母AA,AAAA,AaAA,aaAa,AAAa,AaAa,aaaa,AAaa,Aaaa,aaAAu2uv0uvv20000Aa0uvuwuv2v2vwwuwv0aa0000v2vw0wvw2我们把每行数据相加可得 这就是子一代三种基因型的比例。（2） 设，上式即，且。由于，将分别看成，则由（1）的结论可知，子二代的AA、Aa、aa的比例为 故子二代与子一代比例相同。 注：这是一道源自生物学的概率问题，凸现了自主招生考试中注重数学知识和其他科目的整合，考查学生应用数学知识解决问题的能力。四、 真题训练1.（2008复旦）一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等
18、品率为0.1.将这批衬衣逐渐检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等品的概率为（ ）。（A）0.271 （B）0.243 （C）0.1 （D）0.0812.（2007复旦）设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数为1:3.已知从甲袋中摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为。则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）3.（2006复旦）复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其他班有五位。若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连。
19、问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）4.（2006武大）一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：组距(10,20(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70频数234542则样本在上的频率为（ ）。（A） （B） （C） （D）5.（2007武大）某工厂新招了8名工人，其中有2名车工和3名钳工，现将这8名工人平均分配给甲、乙两个车间，那么车工和钳工均不能分到同一车间的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）6.（2009华南理工）甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲：平均能赢两盘，某日，甲、乙进行五打三制胜赛，那么甲胜出的概率为 。
20、7.（2003同济）从1-100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是 。8.（2007上海交大）6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生打完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 。9.（2004同济）从0,1,2，。9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，则恰好构成可以被25整除的五位数的概率是 （用分数给出答案）。10.（2008南大）设是随机事件，且。则 。11.（2010浙大）甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷。问：（1）任意一局甲胜的概率；（2
21、）第局甲胜的概率。 12.（2007武大）从一个装有三个红球、两个白球的口袋中任取两球放入一个箱子中。（1） 求箱子中两球都是红球的概率；（2） 记“从箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有两次取到红球的概率。13.（2012“卓越联盟”），求：（1）有交点的概率；（2）求交点个数的数学期望。 五、 真题训练答案1.【答案】A【分析与解答】：考虑三次检验中，没有一件是二等品的概率是，故所求概率为。2.【答案】A【分析与解答】：设甲袋共有个球，则乙袋中有个球，且甲袋中红球有个，而甲、乙两袋共有红球个，故乙袋中有红球个，从而所求概率为。3.【答案】A【分析与解答】：先
22、排一班和其它班，将一班3人看成整体共有种排法，又3人内部有种可能，再将二班两位同学插在7个空隙中，有种可能，从而所求概率为。4.【答案】D【分析与解答】：所求频率为5.【答案】C【分析与解答】：不妨设甲车间有2名钳工，则甲车间有1名车工、2名钳工，还有1名其他工人，这时共有种方法；同理，若乙车间有2名钳工，也有种方法。故所求概率为6.【答案】【分析与解答】：分三种情况讨论：打满五盘甲胜出有6种情况。记“”表示甲胜，“”表示乙胜，即有；。概率为：；打四盘甲胜出有3种情况，即；。概率为；打三盘甲胜出只有1种情况，即，概率为。所以甲胜出的概率为：。7.【答案】【分析与解答】：设取2个数为，且设，由。
23、若，共48种；若，共46种；若，共2种。故所求概率为。8.【答案】【分析与解答】：要不打扰考生则必须每次在两旁的人离开，即每次有2种选择，故共有种可能，故所求概率为。9.【答案】【分析与解答】：末两位只能是25、50或75.对于末两位为25或75，若含有0，则有个，若不含0，则有个，从而共有个符合要求的五位数。对于末两位为50，共有个符合要求。从而所求概率是。10.【答案】【分析与解答】：，而。11.【分析与解答】：（1） 。（2） 设第局甲胜的概率为，则，其中，故 。 12.【分析与解答】：（1）。（2）取出两球必须是一红一白，。13.【分析与解答】：（1）设圆心到直线的距离为，若有交点，则。时，；时，；时，；时，；时，。共种情况；所以。（2） 交点个数为0时，直线与圆相离，有6种情况；交点个数为1时，直线与圆相切，只有；交点个数为2时，由（1）知直线与圆相交，有18种情况。所以。