1、一、命题的有关概念1.命题 可以判断真假的语句.“非 p”形式的复合命题与 p 的真假相反;2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”.3.简单命题 不含逻辑联结词的命题.4.复合命题 含有逻辑联结词的命题.5.复合命题真值表“p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同时为假时为假,其它情形为真;“p 且 q”形式的复合命题当p 与q同时为真时为真,其它情形为假.p非 p真假假真pqp 或 q真 真真真 假真假 真真假 假假pqp 且 q真 真真真 假假假 真假假 假假二、命题的四种形式逆否命题:若q,则p.原命题:若 p,则 q;逆命题:若 q,则 p;否命题:若p,则q;互逆互逆互否互否否命题
2、若p 则q逆否命题若q 则p原命题若 p 则 q逆命题若 q 则 p互为逆否否逆为互注:互为逆否命题的两个命题同真假.三、反证法1.一般步骤反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.2.命题特点结论本身以否定形式出现;结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式;结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式;结论的反面比原结论更具体或更易于证明.3.特殊结论的反设原结论词大于()小于()都是都不是至少 n 个至多 n 个反设词不大于()不小于()不都是至少有一个是至多 n-1 个至少
3、n+1 个原结论词有无穷多个存在唯一的对任意 x,使恒成立反设词只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个 x,使不成立4.引出矛盾的形式由假设结论 q 不成立,得到条件 p 不成立;由假设结论 q 不成立,得到结论 q 成立;由假设结论 q 不成立,得到一个恒假命题;分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.典型例题用反证法证明下列各题:1.某班有 49 位学生,证明:至少有 5 位学生的生日同月.3.设 f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.124.设三个正数 a,b,c 满足条件+=2,求证:a,b,c 中至少有两个不小于 1.b1a1c1
4、2.若 p1p2=2(q1+q2),证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+q2=0 中,至少有一个方程有实根.证:假设至多有 4 位学生的生日同月,即:生日在 1,2,12 月的学生人数都不超过 4 人.则该班学生总数 m412=48人,与该班有 49 位学生的条件矛盾,假设不成立.至少有 5 位学生的生日同月.1.某班有 49 位学生,证明:至少有 5 位学生的生日同月.证:假设这两个方程都没有实根,则 10 且 20,从而有:1+20.又1+2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2)=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)20
5、,与 1+20 矛盾.即 1+20,假设不成立.故这两个方程至少有一个有实根.2.若 p1p2=2(q1+q2),证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+q2=0 中,至少有一个方程有实根.证:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全小于,即:12-1+a+b 1212-4+2a+b 1212-9+3a+b 1212-a+b-3212-2a+b-9272-3a+b-2192173212由式得-a-b ,与式相加得-4a-2 与式相加得-6a-4 9272由式得-2a-b ,显然与矛盾,假设不成立.故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.12
6、3.设 f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.124.设三个正数 a,b,c 满足条件+=2,求证:a,b,c 中至少有两个不小于 1.b1a1c1a,b,c 三数均小于 1,证:假设 a,b,c 中至多有一个数不小于 1,这包含两种情况:即 0a1,0b1,0c1,1,1,b1a1c1+3,b1a1c1也与已知条件矛盾.a,b,c 中恰有两数小于 1,不妨设 0a1,0b1,1,b1a1c1+2+2,b1a1c1假设不成立.a,b,c 中至少有两个不小于 1.课堂练习1.已知 abc0,求证:三个方程 ax2+bx+=0、bx2+cx+=
7、0 与a4c4cx2+ax+=0 中至少有一个方程有实数根.b42.对于函数 f(x)=x2+ax+b(a,bR),当 x-1,1 时,|f(x)|的最大值为 M,求证:M .123.方程 x2-mx+4=0 在-1,1上有解,求实数 m 的取值范围.1.证:设三个方程的判别式分别为1,2,3,由 1+2+3=b2-ac+c2-ba+a2-cb=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20 12即 1+2+3 0.故所述三个方程中至少有一个方程有实数根.1,2,3 中至少有一个非负.2.对于函数 f(x)=x2+ax+b(a,bR),当 x-1,1 时,|f(x)|的最大值为 M,求证:M .1
8、2|f(-1)|=|1-a+b|.12证:假设 M,则|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|,121212121212|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|+2+=2,即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2.又|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2,即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2,与式矛盾.假设不成立.12 M.3.方程 x2-mx+4=0 在-1,1上有解,求实数 m 的取值范围.解:先考虑 x2-mx+4=0 在-1,1上无解时 m 的取值范围.包含两种情况:方程 x2-mx+4=0 无实数解;方程有实数解,但解不在-1,1 上.设 f(x)=x2-mx+4,则等价于=m2-160;等价于:0;0.0;1;2mf(1)0.或-11;0;2mf(-1)0;f(1)0.或解得实数 m 取值的集合A=(-5,5).故所求实数 m 的取值范围是:CRA=(-,-55,+).