1、第三课时定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的定点问题1,4,5圆锥曲线的定值问题7圆锥曲线的存在性问题2,3,61.(2015江西九江二模)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,M是椭圆C上任意一点,且点M到椭圆C右焦点F距离的最小值是-1.(1)求椭圆C的方程;(2)已知A,B是椭圆C的左、右顶点,当点M与A,B不重合时,过点F且与直线MB垂直的直线交直线AM于点P,求证:点P在定直线上.(1)解:由条件知a-c=-1,又=.解得a=,c=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设M(x0,y0)(y00),则+=1,直线AM的方程为y=(x+), 因为FP
2、MB,所以直线FP的方程为y=-(x-1),联立得x+=-(x-1), 又+=1,即-=2, 将代入得x=2+,所以点P在定直线x=2+上.2.(2016郑州模拟)已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).(1)求曲线E的方程;(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值.若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.解:(1)设点P(x,y),由题意可得=,整理可得+y2=1.曲线
3、E的方程是+y2=1.(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|=.当m=0时,不合题意.当m0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得=1,即m2+1=n2.联立消去y得(m2+)x2+2mnx+n2-1=0,=4m2n2-4(m2+)(n2-1)=2m20,x1=,x2=,S四边形ACBD=|AB|x2-x1|=,当且仅当2|m|=,即m=时等号成立,此时n=,经检验可知,直线l的方程为y=x-或直线y=-x+时四边形ACBD的面积最大,最大值为.3.(2016陕西模拟)已知A是椭圆M:x2+5y2=5与y轴正半轴的交点,F是椭圆M的右焦点,过点F的直线l与椭圆M交于B
4、,C两点.(1)若|OB|=|OC|,求B,C两点的坐标;(2)是否存在直线l,使得|AB|=|AC|?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.解:(1)由x2+5y2=5可得+y2=1,所以c=2,所以F(2,0),A(0,1).由椭圆的对称性可知,满足|OB|=|OC|的直线l有两种:当直线lx轴时,令x=2,y=.所以B,C两点的坐标分别为(2,)和(2,-).当直线l与x轴重合时,B,C两点的坐标分别为(,0)和(-,0).(2)易知,当直线l与x轴重合时,|AB|=|AC|,此时直线l的方程为y=0.当直线l与x轴垂直时,直线l不符合题意.当直线l与坐标轴不垂直时,设过点F的
5、直线的斜率为k,直线l与椭圆M的交点B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点N(x0,y0),则l:y=k(x-2).联立得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,所以x1+x2=.所以x0=,y0=,所以要使|AB|=|AC|,只要ANBC.所以k=-1,所以5k2-8k+1=0,所以k=,所以直线l的方程为y=(x-2).综上,符合题意的直线l的方程为y=0或y=(x-2).4.(2015吉林东北师大附中三模)已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=,虚轴长为2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点(A,B均异于左
6、、右顶点),且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.(1)解:由题设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),由已知得=,2b=2,又a2+b2=c2,解得a=2,b=1,所以双曲线的标准方程为-y2=1.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1-4k2)x2-8mkx-4(m2+1)=0,则x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(-2,0),所以kADkBD=-1,即=-1,所以y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,所以+
7、4=0,所以3m2-16mk+20k2=0.解得m=2k或m=.当m=2k时,l的方程为y=k(x+2),直线过定点(-2,0),与已知矛盾;当m=时,l的方程为y=k(x+),直线过定点(-,0),经检验符合已知条件.故直线l过定点,定点坐标为(-,0).5.(2016开封模拟)已知抛物线C:x2=4y.(1)设P为直线l:x-y-2=0上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(2)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.解:(1)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y=x.设A(x1,y1),B(x2,y2
8、)(其中y1=,y2=),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.故直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(2)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1.所以|AF|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y
9、0-)y+=0,由根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2(y0+)2+,所以当y0=-时,|AF|BF|取得最小值,且最小值为.6.(2015西安模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)经过点(1,),离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=k(x-1)(k0)与椭圆C交于A,B两点,点M是椭圆C的右顶点,直线AM与直线BM分别与y轴交于点P,Q,试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由
10、.解:(1)由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程是+y2=1.(2)以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点,由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=.又因为点M是椭圆C的右顶点,所以点M(2,0),由题意可知直线AM的方程为y=(x-2),故点P(0,-).直线BM的方程为y=(x-2),故点Q(0,-).若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N(x0,0),则等价于=0恒成立,又因为=(x0,),=(x0,),所以=+=+=0恒成立,又因为(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=-2+4=,y1y
11、2=k(x1-1)k(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1=k2(-+1)=,所以+=+=-3=0,解得x0=.即x轴上的定点为(,0)或(-,0).故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(,0).7.(2016枣庄模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且MNF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程;(2)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值,并求出这个定值.解:(1)由题意知4a=8,所以a=2.因为e=,所以=1-e2=,所以b2=3.所以椭圆C的方程为+=1.(2
12、)由题意,当直线AB的斜率不存在时,可设A(x0,x0),B(x0,-x0).又A,B两点在椭圆C上,所以+=1,即=,所以点O到直线AB的距离d=.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m.由消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由0得3+4k2m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m,所以x1+x2=-,x1x2=.因为OAOB,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.所以(k2+1)-+m2=0,整理得7m2=12(k2+1),满足0.所以点O到直线AB的距离d=为定值.综上,点O到直线AB的距离为定值,且这个定值为.