1、第十章单元能力测试卷(A版)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2010上海春季高考)若空间三条直线a、b、c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交、是异面直线都有可能答案D2已知高为3的直棱柱ABCABC的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥BABC的体积为()A.B.C. D.答案D解析VSh3.3如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，沿对角线BD将ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角CABD的平面角大小为，则sin的值等于()A. B.C. D.答案A解析BCCD，BC是AC在平面BCD上的
2、射影，ACCD，CD平面ABC，ADAB，ACAB，DAC，sin.4位于北纬x度的A、B两地经度相差90，且A、B两地间的球面距离为R(R为地球半径)，那么x等于()A30 B45C60 D75答案B解析记球心为点O，依题意得AOB，OAOBR，因此ABR.又A、B两地经度相差90，因此A、B两地所在的纬线圈的半径是R，x45，选B.5设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面、，对于下面四种情况：b，b；.其中可能的情况有()A1种 B2种C3种 D4种答案C解析都有可能，不可能，否则有ba，与已知矛盾6在三棱锥ABCD中，若ADBC，BDAD，BCD是锐角三角形，那么必有()A
3、平面ABD平面ADC B平面ABD平面ABCC平面ADC平面BCD D平面ABC平面BCD答案C解析由ADBC，BDADAD平面BCD.又AD平面ADC，平面ADC平面BCD.7直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACAA1a，则点A到平面A1BC的距离是()Aa B.aC.a D.a答案C解析取A1C的中点O，连接AO.ACAA1，AOA1C.又该三棱柱是直三棱柱，平面A1C平面ABC.又BCAC，BCAO.因此AO平面A1BC，即AO的长等于A到平面ABC的距离，解得AOa.8在ABC中，AB15，BCA120.若ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是()A
4、13 B11C9 D7答案B解析作PO于点O，连结OA、OB、OC.PAPBPC，OAOBOC.O为ABC的外心OA5.PO11为所求9高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底)，可放置最大球的半径是()A. B2C. D.答案B解析如上图所示，过球心作平行于底的截面，R2tan302.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM()A是AC和MN的公垂线B垂直于AC，但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD与AC，MN都不垂直答案A解析MO在面ABCD上的射影为OD，ODAC，OMAC，又MO在面CC1D1D中
5、的射影与MN垂直，MOMN，OM是AC和MN的公垂线11棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是()A. B.C. D.答案C解析如图，ABE为题中三角形，由已知得AB2，BE2，BFBE，AF，ABE的面积为SBEAF.故选C.12已知二面角l的平面角为，PA，PB，A、B为垂足，且PA4，PB5，设A、B到棱l的距离分别为x、y，当变化时，点(x，y)的轨迹是下列图形中的()答案D解析如图，PO2PA2OA2PB2OB2，16x225y2.x2y29且x3，y0.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分
6、，把答案填在题中横线上)13在ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，PM平面ABC，当BC18，PM3时，PN和平面ABC所成的角是_答案30解析PM平面ABC，PNM为PN与平面ABC所成的角tanPNM，PNM30.14有两个半径都是r的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交线长为_答案r解析由题意得交线为半径为r的圆周，其长为r.15在正四面体ABCD中，O为底面BCD的中心，M是线段AO上一点，且使得BMC90，则_.答案1解析如右图所示，设正四面体ABCD的棱长为2，由BMC90，得BM.又可得BO，在RtBOM中，MO，由勾股定理得AO，所以得1.16如图是一几何
7、体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F、分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF异面；直线BF与直线AF异面直线EF平面PBC；平面BC平面PAD.其中正确的有_个答案2解析将几何图展开拼成几何体(如图)，因为E、F分别为PA、PD的中点，所以EFADBC，即直线BE与CF共面，错；因为B平面PAD ，E平面PAD，EAF，所以BE与AF是异面直线，正确；因为EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题
8、满分10分)如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN平面PAD证明取PD的中点E，连接AE，NE，则NE綊DC又AM綊DC，NE綊AM四边形AENM为.MNAE又AE平面PAD，MN平面PAD， MN平面PAD.18(本小题满分12分)如右图所示，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，BAP45，直线CA和平面所成的角为30.(1)证明：BCPQ；(2)求二面角BACP的大小解析(1)如右图，在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB.因为，PQ，所以CO.又因为CACB，所以OAOB.而BAO45，所以ABO45，AOB90.从而BOPQ.又COP
9、Q，所以PQ平面OBC.因为BC平面OBC，故PQBC.(2)由(1)知，BOPQ，又，PQ，BO，所以BO.过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC.故BHO是二面角BACP的平面角由(1)知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，则CAO30.不妨设AC2，则AO，OHAOsin30.在RtOAB中，ABOBAO45，所以BOAO.于是在RtBOH中，tanBHO2.故二面角BACP的大小为arctan2.19(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，ABBC，CB3，AB4，A1AB60.(1)求证：
10、平面CA1B平面A1ABB1；(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；(3)求点C1到平面A1CB的距离解析证明：(1)四边形BCC1B1是矩形，BCBB1.又ABBC，BC平面A1ABB1.BC平面CA1B，平面CA1B平面A1ABB1.解：(2)过A1作A1DB1B于D，D即为B1B的中点，连接DC.BC平面A1ABB1，BCA1D，A1D平面BCC1B1，故A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角在矩形BCC1B1中，DC.四边形A1ABB1是菱形，A1AB60，CB3，AB4，A1D2，tanA1CD.(3)B1C1BC，B1C1平面A1BC，C1到平面A1BC的距离
11、即为B1到平面A1BC的距离连接AB1，AB1与A1B交于点O.四边形A1ABB1是菱形，B1OA1B.平面CA1B平面A1ABB1，B1O平面A1BC.B1O即为C1到平面A1BC的距离，又B1O2，C1到平面A1BC的距离为2.20(本小题满分12分)(09广东)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D、AA1的中点设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG1平面FEE1；(3)求异面直线E1G1与EA所
12、成角的正弦值解析(1)点A、E、G、F在平面DCC1D1的投影分别为点D、E1、G1、F，连结EF、EE1、EG1、ED.则VEDE1FG1VFEE1G1VDEE1G11111.(2)点E在平面DCC1D1的正投影为点E1，则EE1面DCC1D1.FG1平面DCC1D1，EE1FG1.在E1FG1中，FG1，E1F，E1G12，FE12FG12E1G124，FG1FE1，FE1EE1于点E1，FG1平面FEE1.(3)取正方形ADD1A1的中心为M，连结EM、AM，则EM綊E1G1，且EM面AA1D1D，EMAM.AM，AE，EM2，sinAEM.异面直线E1G1与EA所成角的正弦值为.21(
13、本小题满分12分)如图所示，M、N、P分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点(1)若，求证：无论点P在DD1上如何移动，总有BPMN；(2)若D1PPD12，且PB平面B1MN，求二面角NB1MB的余弦值(3)在棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1平面ACC1？证明你的结论解析(1)证明：在底面ABCD内，BMBN，MNAC.又ACBD，MNBD.又BB1MN，MN平面BB1D1D.而BP平面BB1D1D，MNBP.(2)解：在AA1上取点Q，使A1QQA12，连接PQ、BQ、BD，则PQ平面A1ABB1.PB平面B1MN，PBMN，PBB1M，根据三垂线定
14、理逆定理，DBMN，QBB1M.设BQB1MH，连接NH.NB平面B1MB，NHB1M，NHB为二面角NB1MB的平面角令AB3，则AQ2，BQ，cosHBM，在RtNBH中，tanNHB，cosNHB.(3)解：存在点P，且P在DD1的中点，使得平面APC1平面ACC1.证明如下：C1C底面ABCD，C1CBD.又ACBD，BD平面ACC1，取AC1中点O，连接PO，易证POBD，从而PO平面ACC1，PO平面APC1，平面APC1平面ACC1.22(本小题满分12分)如右图所示，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PAADa，M、N分别是AB、PC的中点(1)求平面PCD与平面ABCD
15、所成二面角的大小；(2)求证：平面MND平面PCD；(3)当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的取值范围解析(1)PA平面ABCD，CDAD，PDCD.故PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角在RtPAD中，PAAD，PAAD，PDA45.(2)如右图所示，取PD中点E，连结AE、EN.由M、N分别是AB、PC的中点，EN綊CD綊AB.AMNE为平行四边形MNAE.在等腰RtPAD中，AE是斜边的中线，AEPD.又CDPD，CDAD，CD平面PAD.CDAE.又PDCDD，AE平面PCD.MN平面PCD.平面MND平面PCD.(3)ADBC，PCB为异面直线PC、AD所成的角由三垂线定理知PBBC.设ABx(x0)，tanPCB1.又PCB为锐角，PCB(，)，即异面直线PC、AD所成角的范围是(，).高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u