1、8.6.1直线与直线垂直课后训练提升1.已知一正方体的平面展开图如图所示,则在这个正方体中,CN,BM所在直线所成的角为()A.30B.45C.60D.90解析将平面展开图还原为正方体,如图,连接AN,AC,则ANBM,故ANC为CN,BM所在直线所成的角.又ANC为等边三角形,故ANC=60,即CN,BM所在直线所成的角为60.答案C2.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AC1,BC1的中点,则以下结论不成立的是()A.EF与BB1垂直B.EF与BD所成的角为45C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面解析显然EFAB,BB1AB,EFBB1,故A正确.EFAB,AB
2、D为EF与BD所成的角,又ABD=45,EF与BD所成的角为45,故B正确.EFABCD,故C错误.EF与A1C1异面,故D正确.答案C3.如图,正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,E为PC的中点,则异面直线BE与PA所成角的余弦值为()A.33B.63C.32D.-33解析如图,连接AC,BD相交于点O,连接OE,则O为AC的中点.因为E为PC的中点,所以OEPA,OE=12PA,所以OEB为异面直线BE与PA所成的角.不妨设正四棱锥的棱长为1,则OE=12PA=12,OB=12BD=22,BE=32,故cosOEB=14+34-1221232=33,即异面直线BE与PA所成角的余弦值为3
3、3.答案A4.如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为BC的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.55B.63C.66D.12解析如图,取BC的中点H,连接EH,AH,则EHA=90,不妨设AB=2,则BH=HE=1,AH=5,所以AE=6.连接ED,则ED=6.因为BCAD,所以EAD为异面直线AE与BC所成的角.在EAD中,cosEAD=6+4-6226=66.答案C5.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=2,AC与BD所成的角为60,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为()A.1B.1或2C.2或3D.1或3解析如图,取BC的中点E,连接EN,EM.因为M为AB
4、的中点,所以MEAC,ME=12AC=1,同理,ENBD,EN=1.所以MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,所以MEN=60或MEN=120.当MEN=60时,因为ME=EN=1,所以MEN为等边三角形,所以MN=1.当MEN=120时,MN=ME2+EN2-2MEENcosMEN=3.答案D6.如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E,F分别为AD,BC上的点,且AEED=BFFC=12,EF=5,则AB与CD所成角的大小为,EF与AB所成角的正弦值为.答案90557.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1=2,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与BC1所成角的大小为
5、.解析如图,取BC的中点F,连接EF,AF,则EFBC1,所以AEF(或其补角)为异面直线AE与BC1所成的角,因为AE=AB2+BC2+CE2=3,EF=CE2+CF2=2,AF=AB2+BF2=5,所以cosAEF=AE2+EF2-AF22AEEF=22.所以AEF=45,即异面直线AE与BC1所成角的大小为45.答案458.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点,求证:DB1EF.证明(方法一)如图,连接A1C1,B1D1相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OGB1D,EFA1C1,故GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或
6、其补角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为GA1=GC1,O为A1C1的中点,所以GOA1C1,即GOA1=90.所以异面直线DB1与EF所成的角为90,所以DB1EF.(方法二)如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,HF,则HEDB1,HE=12DB1.于是HEF为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.不妨设AA1=1,则EF=22,HE=32.取A1D1的中点I,连接IF,IH,则HIIF,所以HF2=HI2+IF2=54,所以HF2=EF2+HE2,即HEF=90,所以异面直线DB1与EF所成的角为90,所以DB1EF.(方法三)如图,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体
7、,连接DQ,B1Q,则B1QEF.于是DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.不妨设AA1=1,则DQ=22+12=5,B1D=12+12+12=3,B1Q=12+12=2,所以B1D2+B1Q2=DQ2,所以DB1Q=90,即异面直线DB1与EF所成的角为90,所以DB1EF.9.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形,且AB=BC=23,ABC=120,A1BAD1,求AA1的值.解如图,连接CD1,AC,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,因为A1D1BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1BCD1,所以AD1C(或其补
8、角)为A1B与AD1所成的角.又A1BAD1,所以异面直线A1B与AD1所成的角为90,所以AD1C=90.由题意可知,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,又AB=BC,所以ACD1为等腰直角三角形,所以AD1=22AC.因为AB=BC=23,ABC=120,所以AC=23sin 602=6,所以AD1=22AC=32,所以AA1=AD12-A1D12=(32)2-(23)2=6.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)求证:AD1平面DOC1.(2)求异面直线AD1和OC1所成角的大小.(1)证明如图,连接D1C交DC1于点O1,连接OO1.因为O,O1分别为AC,D1C的中点,所以OO1AD1.又OO1平面DOC1,AD1平面DOC1,所以AD1平面DOC1.(2)解由(1)知,OO1AD1,所以O1OC1为异面直线AD1和OC1所成的角,不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则O1C1=OO1=2,OC1=6,所以cosO1OC1=(2)2+(6)2-(2)2226=32,所以O1OC1=6,即异面直线AD1和OC1所成角的大小为6.