1、第二十九讲等比数列一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1在等比数列an中，a7a116，a4a145，则()A.B.C.或 D或解析：在等比数列an中，a7a11a4a146又a4a145由、组成方程组解得或或.答案：C2在等比数列an中a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于()A2n12 B3nC2n D3n1解析：要an是等比数列，an1也是等比数列，则只有an为常数列，故Snna12n.答案：C评析：本题考查了等比数列的性质及对性质的综合应用，抓住只有常数列有此性质是本题的关键，也是技巧；否则逐一验证，问题运算量就较
2、大3设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3等于()A12 B23C34 D13解析：解法一：S6S312，an的公比q1.由，得q3，.解法二：因为an是等比数列，所以S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得，故选C.答案：C4已知等比数列an中，an0，a10a11e，则lna1lna2lna20的值为()A12 B10C8 De解析：lna1lna2lna20ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)lne1010，故选B.答案：B5若数列an满足a15，an1(nN*)，则其前10项和是()A200 B150C10
3、0 D50解析：由已知得(an1an)20，an1an5，S1050.故选D.答案：D6.在等比数列an中，a1a2an2n1(nN*)，则aaa等于()A(2n1)2 B.(2n1)2C4n1 D.(4n1)解析：若a1a2an2n1，则an2n1，a11，q2，所以aaa(4n1)，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7数列an中，设数列an的前n项和为Sn，则S9_.解析：S9(122242628)(371115)377.答案：3778数列an的前n项之和为Sn，Sn1an，则an_.解析：n1时，a1S11a1，得a1，n2时
4、，Sn1an，Sn11an1.两式相减得anan1an，即anan1，所以an是等比数列，首项为a1，公比为，所以ann1.答案：n19an是等比数列，前n项和为Sn，S27，S691，则S4_.解析：设数列an的公比为q，S27，S691.q4q2120，q23.S4a1(1q)(1q2)(a1a1q)(1q2)28.答案：2810设数列an的前n项和为Sn(nN)，关于数列an有下列四个命题：若an既是等差数列又是等比数列，则anan1(nN)若Snan2bn(a，bR)，则an是等差数列若Sn1(1)n，则an是等比数列若an是等比数列，则Sm，S2mSm，S3mS2m(mN)也成等比数
5、列其中正确的命题是_(填上正确命题的序号)解析：若an既是等差数列又是等比数列，an为非零常数列，故anan1(nN)；若an是等差数列，Snn2n为an2bn(a，bR)的形式；若Sn1(1)n，则n2时，anSnSn11(1)n1(1)n1(1)n1(1)n，而a12，适合上述通项公式，所以an(1)n1(1)n是等比数列；若an是等比数列，当公比q1且m为偶数时，Sm，S2mSm，S3mS2m不成等比数列答案：三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11已知数列an中，a11，前n项和为Sn，对任意的自然数n2，an是3Sn4与2Sn1的等
6、差中项(1)求an的通项公式；(2)求Sn.解：(1)由已知，当n2时，2an(3Sn4)(2Sn1)，又anSnSn1，由得an3Sn4(n2)an13Sn14两式相减得an1an3an1.a2，a3，an，成等比数列，其中a23S243(1a2)4，即a2，q，当n2时，ana2qn2n2n1.即(2)解法一：当n2时Sna1a2ana1(a2an)11n1，当n1时S110也符合上述公式Snn1.解法二：由(1)知n2时，an3Sn4，即Sn(an4)，n2时，Sn(an4)n1.又n1时，S1a11亦适合上式Snn1.12设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)
7、，其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1)(nN*，n2)，求证：为等差数列，并求bn.解：(1)证明：由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3，两式相减，得(3m)an12man，m3，(n1)an是等比数列(2)由(3m)S12ma1m3，解出a11，b11.又an的公比为，qf(m)，n2时，bnf(bn1)，bnbn13bn3bn1，推出.是以1为首项，为公差的等差数列，1，又1符合上式，bn.13已知an是首项为a1，公比q(q1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S24S4，
8、设bnqSn.(1)求q的值；(2)数列bn能否是等比数列？若是，请求出a1的值；若不是，请说明理由解：(1)由题意知5S24S4，S2，S4，5(1q2)4(1q4)，得q21.又q0，q.(2)解法一：Sn2a1a1n1，于是bnqSn2a1a1n1，若bn是等比数列，则2a10，即a1，此时，bnn1，数列bn是等比数列，所以存在实数a1，使数列bn为等比数列解法二：由于bn2a1a1n1，所以b1a1，b2a1，b3a1，若数列bn为等比数列，则bb1b3，即2，整理得4aa10，解得a1或a10(舍去)，此时bnn1.故存在实数a1，使数列bn为等比数列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m