1、数列求和的方法将一个数列拆成若干个简单数列,然后分别求和.将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).一、拆项求和二、并项求和例 求和 Sn=12+23+n(n+1).例 求和 Sn=1-2+3-4+5-6+(-1)n+1n.三、裂项求和 将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能相互抵消,剩下首尾若干项.n2Sn=-,n 为偶数时,n 为奇数时.n+1 2n(n+1)(n+2)3 n+1n例 求和 Sn=+.121231n(n+1)1四、错位求和 将数列的每一项都作相同的变换,然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减.例 等比数列求和公式的推导.五
2、、倒序求和 将数列的倒数第 k 项(k=1,2,3,)变为正数第 k 项,然后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等).例 等差数列求和公式的推导.典型例题(1)已知 an=,求 Sn;n(n+1)2 2n+1(2)已知 an=,求 Sn;(2n-1)(2n+1)(2n)2n2+2nn2+2n+12n2+2n2n+1Sn=(3n+2)2n-1 Sn=3n-2n(公比为 的等比数列)23(4)Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1;法1 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+nn-(n-1)=n(1+2+3+n)-21+32+n(n-1)=n(1+2+3+n)-12+22+(n-1
3、)2-1+2+(n-1)法2 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n)而 an=1+2+3+n=n(n+1).12(5)Sn=3n-1+3n-22+3n-322+2n-1.(3)Sn=Cn+4Cn+7Cn+10Cn+(3n+1)Cn;0 1 2 3 nn(n+1)(n+2)6 课后练习1.已知数列 an 是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12,(1)求数列an 的通项公式;(2)令 bn=an3n,求数列 bn 前 n 项和的公式.解:(1)设数列 an 的公差为 d,则由已知得 3a1+3d=12,d=2.an=2+(n-1)
4、2=2n.故数列 an 的通项公式为 an=2n.(2)由 bn=an3n=2n3n 得数列 bn 前 n 项和Sn=23+432+(2n-2)3n-1+2n3n 3Sn=232+433+(2n-2)3n+2n3n+1 将 式减 式得:-2Sn=2(3+32+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1.Sn=+n3n+1.3(1-3n)2又 a1=2,2.将上题(2)中“bn=an3n”改为“bn=anxn(xR)”,仍求 bn的前 n 项和.解:令 Sn=b1+b2+bn,则由 bn=anxn=2nxn 得:Sn=2x+4x2+(2n-2)xn-1+2nxn xSn=2x2+4x3+
5、(2n-2)xn+2nxn+1 当 x1 时,将 式减 式得:(1-x)Sn=2(x+x2+xn)-2nxn+1=-2nxn+1.2x(1-xn)1-xSn=-.2x(1-xn)(1-x)22nxn+11-x当 x=1 时,Sn=2+4+2n=n(n+1);综上所述,Sn=n(n+1),x=1 时,2x(1-xn)(1-x)22nxn+11-x-,x1 时.3.求和:Sn=1+(1+)+(1+)+(1+).121412121412n-1 121412n-1 解:an=1+=2-.1-121-1212n-1 12n-1 Sn=2n-(1+)121412n-1=2n-2+.12n-1 4.求数列
6、n(n+1)(2n+1)的前 n 项和 Sn.解:通项 ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,Sn=2(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n)n2(n+1)2=+2n(n+1)2n(n+1)(2n+1)2=.n(n+1)2(n+2)25.数列 an 中,an=+,又 bn=,求数列 bn 的前 n 项的和.n+1 1 n+1 2 n+1 nanan+1 2解:an=(1+2+n)=,n+1 1 2nbn=8(-).2n2n+12n+1 1 n1Sn=8(1-)+(-)+(-)+(-)1213121314n+1 1 n1=8(1-)n+1 1 n+1 8n=.6
7、.已知 lgx+lgy=a,且 Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn,求Sn.解:Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn,又 Sn=lgyn+lg(xyn-1)+lg(xn-1y)+lgxn,2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)n+1 项=n(n+1)lg(xy).lgx+lgy=a,lg(xy)=a.Sn=lg(xy)=a.n(n+1)2 n(n+1)2 注:本题亦可用对数的运算性质求解:Sn=lg(xy)=a.n(n+1)2 n(n+1)2 Sn=lgxn+(n-1)+3+2+1y1+2+3
8、+(n-1)+n,8.求数列 1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,的通项 an 及前 n 项和Sn.解:an=+1+2+nn(n-1)2 n(n-1)2 n(n-1)2 n2(n-1)2=+=n3+n.n(n+1)2 1212 Sn=(13+23+n3)+(1+2+n)1212n(n+1)2=2+1212n(n+1)2=(n4+2n3+3n2+2n).187.求证:Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1)2n.0 1 2 n 证:令 Sn=Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn.0 1 2 n 又 Sn=(2n+1)Cn+(2n-1)Cn +3Cn+Cn,n n-1 1 0 2
9、Sn=2(n+1)(Cn+Cn+Cn)=2(n+1)2n.0 1 n Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1)2n.0 1 2 n 9.已知递增的等比数列 an 前 3 项之积为 512,且这三项分别减去 1,3,9 后又成等差数列,求数列 的前 n 项和.ann解:设等比数列 an 的公比为 q,依题意得:a1a2a3=512a23=512a2=8.前三项分别减去 1,3,9 后又成等差数列,(-1)+(8q-9)=2(8-3)q=2 或 q=(舍去).q812an=a2qn-2=82n-2=2n+1.所求数列的前 n 项和 Sn=+122 223 2n+1 n2n+1 n-1 1
10、23 224 Sn=+122n+2 n-得:Sn=+-2n+1 1 122 123 122n+2 nSn=+-12n122 2n+1 n12=1-.12n2n+1 n10.已知数列 an 中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n2,nN*),求数列 an 的前 n 项和 Sn.=.an-1 an2n-3 2n+1 Sn=a1+a2+an解:(2n+1)an=(2n-3)an-1,则 =,=,=.an-2 an-1 2n-5 2n-1 a2 a3 37a1 a2 15 =.a1 an(2n+1)(2n-1)3 an=(2n+1)(2n-1)3=(-).321 2n-1 1 2n+
11、1 321 2n-1 1 2n+1=(1-)+(-)+(-)+(-)13151315173n2n+1=.解:(1)a1C -a2C +a3C=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2.222210 11.已知 an 是 首 项 为 a1,公 比 为 q 的 等 比 数 列.(1)求和:a1C2-a2C2+a3C2,a1C3-a2C3+a3C3-a4C3;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明;(3)设q1,Sn是an的前 n 项和,求 S1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+(-1)nSn+1Cn.00011122233n3210a1C -a2C +a3C-a4
12、C =a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3.3333(2)归纳概括的结论为:a1C -a2C +a3C-a4C +(-1)nan+1C =a1(1-q)n,其中,3n210nnnnnn 为正整数.证明如下:a1C -a2C +a3C-a4C +(-1)nan+1C 3n210nnnnn=a1C -a1qC +a1q2C-a1q3C +(-1)na1qnC 3n210nnnnn=a1C -qC +q2C-q3C +(-1)nqnC 3n210nnnnn=a1(1-q)n.a1C -a2C +a3C-a4C +(-1)nan+1C =a1(1-q)n.3n210nnnnn解:(3
13、)记 t=,则由 Sn=t(1-qn)得:1-qa1 0123nS1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+(-1)nSn+1Cn=t(1-q)Cn-(1-q2)Cn+(1-q3)Cn+(-1)n(1-qn+1)Cn 012n0123n-tqCn-qCn+q2Cn-q3Cn+(-1)nqnCn=tCn-Cn+Cn-Cn+(-1)nCn 012n3=t(1-1)n-tq(1-q)n=-tq(1-q)n,从而有:0123nS1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+(-1)nSn+1Cn=-tq(1-q)n=-(1-q)n.1-qa1q 11.已知 an 是 首 项 为 a1,公 比 为 q 的 等 比
14、数 列.(1)求和:a1C2-a2C2+a3C2,a1C3-a2C3+a3C3-a4C3;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明;(3)设q1,Sn是an的前 n 项和,求 S1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+(-1)nSn+1Cn.00011122233n(1)证:由已知 S1=a1=a,Sn=aqn-1,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=a(q-1)qn-2.在 an中,从第 2 项开始成等比数列.12.数列 an 中,a1=a,前 n 项和 Sn 构成公比为 q(q1)的等比数列.(1)求证:在 an中,从第 2 项开始成等比数
15、列;(2)当 a=250,q=时,设 bn=log2|an|,求|b1|+|b2|+|bn|.12an+1an =q(n2),a(q-1)qn-2 a(q-1)qn-1(2)解:由(1)知 an=a,n=1,a(q-1)qn-2,n2.当 a=250,q=时,b1=log2|a1|=log2250=50,12n2 时,bn=log2|an|=log2|250(-1)()n-2|=51-n,1212bn=51-n(nN*).当 1n51 时,|b1|+|b2|+|bn|=(51-1)+(51-2)+(51-n)=51n-n(n+1)2=-n2+n;101212当 n52 时,|b1|+|b2|+|bn|=+50(50+1)2(n-51)(1+n-51)2=n2-n+2550.101212n2-n+2550,n52.101212综上所述|b1|+|b2|+|bn|=-n2+n,1n51,101212=(50+49+1)+1+2+(n-51)=51n-(1+2+n)