1、一、复习目标理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极值及闭区间上的最值.会利用导数求最大值和最小值的方法,解决某些简单实际问题.二、重点解析 (2)用 f(x)=0 的根将 f(x)的定义域分成若干个区间,列表考查各区间上 f(x)的符号,进而确定 f(x)的单调区间.注意若 f(x)在(a,b),(b,c)单调递增(减),且 f(x)在 x=b 处连续,则 f(x)在(a,c)单调递增(减).1.利用导数判断单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数 f(x);(3)求 f(x)=0 的根;2.求函数极值的步骤:(3)检查上面求出的 x 的两
2、侧导数的符号,如果左正右负,那么 f(x)在该点处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在该点处取极小值.(1)求导数 f(x);(2)求出 f(x)=0 或 f(x)不存在的所有的点;3.连续函数 f(x)在 a,b 上有最大值和最小值,求最值的一般步骤:4.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.(1)求极值;(2)把极值和 f(a),f(b)相比较,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值;1.函数的单调性三、知识要点(1)(函数单调性的充分
3、条件)设函数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 f(x)0,则 y=f(x)为增函数,如果 f(x)0(x0).显然 f(x)=x3 在(-1,1)上仍旧是增函数.极大值与极小值统称为极值.是函数 f(x)的一个极小值,记作:y极小值=f(x0),如果对 x0附近的所有点,都有 f(x)f(x0),就说 f(x0)2.函数极值的定义 设函数 f(x)在点 x0 及其附近有定义,如果对 x0 附近的所有点,都有 f(x)0,右侧 f(x)0,那么 f(x0)是极大值;(2)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0,那么 f(x0)是极小值.一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时4.求可导函数
4、 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(3)求方程 f(x)=0 的根;5.函数的最大值与最小值在闭区间 a,b 上连续的函数 f(x)在 a,b 上必有最大值与最小值.但在开区间(a,b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值,例如 f(x)=x,x(-1,1).6.设函数 f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在 a,b上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求 f(x)在(a,b)内的极值;(2)将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大 值,最小的一个是最小值.(2)求导数 f(x);(4)检查 f(x)在方程 f(x)=0
5、的根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值.典型例题 1 已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围.解:由已知,f(x)=3ax2+6x-1.而 3ax2+6x-10(xR)当 f(x)0(xR)时,f(x)是减函数.由 y=x3 在 R 上为增函数知,a=-3 时,f(x)(xR)是减函数.a-3 时,在 R 上存在一个区间,其上有 f(x)0,当 a-3 时,f(x)不是减函数.综上所述,a 的取值范围是(-,-3.a0,=36+12a0 恒成立,(2)y=x3-3x+3,
6、x-,.3252f(x)在-1,1 上单调递增.f(x)min=f(-1)=-12,f(x)max=f(1)=2.(2)y=3x2-3.令 y=0,得 x=-1 或 1.-1,1-,3252且当 x 取-,-1,1,时的函数值分别为3252,5,1,.833889当 x=1 时,ymin=1,当 x=时,ymax=.52889典型例题 3 已知 a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数 f(x);(2)若 f(-1)=0,求 f(x)在-2,2 上的最大值和最小值;(3)若 f(x)在(-,-2和 2,+)上都是递增的,求 a 的取值范围.解:(1)由已知 f(x)=x3-
7、ax2-4x+4a,f(x)=3x2-2ax-4.(2)由 f(-1)=0 得,a=.12 f(x)=3x2-x-4.由 f(x)=0 得,x=-1 或.43f(-2)=0,f(-1)=,f()=-,f(2)=0,92432750 f(x)在-2,2 上的最大值为,最小值为-.922750(3)f(x)的图象为开口向上的抛物线且过点(0,-4),由题设得 f(-2)0 且 f(2)0.8+4a0 且 8-4a0.-2a2.故 a 的取值范围是-2,2.典型例题 4 又 f(x)的图象过点 P(0,1),此时 f(x)=ax4+cx2+1,偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象
8、过点 P(0,1),且在 x=1处的切线方程为 y=x-2,(1)求 y=f(x)的解析式;(2)求 y=f(x)的极大(小)值.函数在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,切线的斜率为 1.解:(1)f(x)是偶函数,b=d=0.e=1.f(x)=4ax3+2cx.1=f(1)=4a+2c.即 4a+2c=1.切线的切点在曲线上,a+c+1=-1.由,得:a=,c=-.52929252f(x)=x4-x2+1.典型例题 4 由 f(x)=0 得:当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:解:(2)由(1)知,f(x)=10 x3-9x.当 x=0 时,f(x)极大值=1.x=0 或
9、.3 10 10 由上表可知:当 x=时,f(x)极小值=-;3 10 10 1110 x f(x)f(x)103(-,-)103 103 103 103 103-(-,0)0(0,)(,+)-0+0-0+极小值极大值极小值偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点 P(0,1),且在 x=1处的切线方程为 y=x-2,(1)求 y=f(x)的解析式;(2)求 y=f(x)的极大(小)值.典型例题 5 设 t0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c 的图象的一个公共点,两函数的图象在点 P处有相同的切线.(1)用 t 表示 a,b,c;(2)若
10、函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围.解:(1)函数 f(x)的图象过点 P(t,0),f(t)=0t3+at=0.t0,a=-t2.又函数 g(x)的图象也过点 P(t,0),g(t)=0bt2+c=0.c=ab.两函数的图象在点 P处有相同的切线,f(t)=g(t).而 f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,3t2+a=2bt.将 a=-t2 代入上式得 b=t.c=ab=-t3.综上所述,a=-t2,b=t,c=-t3.(2)方法一y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当 y=(3x+t
11、)(x-t)0 时,y=f(x)-g(x)为减函数.由 y0,则-xt;若 t0,则 tx-.3t3t函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,(-1,3)(-,t)或(-1,3)(t,-).3t3tt3 或-3.3tt3 或 t-9.t 的取值范围是(-,-93,+).(2)方法二y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.y=(3x+t)(x-t).函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,y=(3x+t)(x-t)的图象是开口向上的抛物线,y=(3x+t)(x-t)0 对于 x(-1,3)恒成立.则 y|x=-10 且 y|x=30.即(-3+t)(-1-
12、t)0 且(9+t)(3-t)0.解得 t3 或 t-9.t 的取值范围是(-,-93,+).典型例题 6 已知函数 f(x)=ax3+cx+d(a0)是 R 上的奇函数,当 x=1 时,f(x)取得极值-2.(1)求 f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4 恒成立.(1)解:函数 f(x)是 R 上的奇函数,f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d对 xR 恒成立.d=0.f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.当 x=1 时,f(x)取得极值-2,f(1)=-2 且 f(1)=0.a+c=-2
13、 且 3a+c=0.a=1,c=-3.f(x)=3x2-3.由 f(x)0 得-1x0 得 x1.f(x)在(-,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数.当 x=-1 时,f(x)取得极大值 f(-1)=2.故函数 f(x)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是(-,-1)和(1,+);f(x)的极大值为 2.典型例题 6 已知函数 f(x)=ax3+cx+d(a0)是 R 上的奇函数,当 x=1 时,f(x)取得极值-2.(1)求 f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4 恒成立.(2)证:由(
14、1)知 f(x)=x3-3x在-1,1 上是减函数,且 f(x)在-1,1 上的最大值 M=f(-1)=2,f(x)在-1,1 上的最小值 m=f(1)=-2,对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4 恒成立.解:(1)由已知 f(x)=3ax2+2bx-3,依题意得 f(-1)=f(1)=0.解得 a=1,b=0.3a-2b-3=0 且 3a+2b-3=0.f(x)=3x2-3.由 f(x)0 得-1x0 得 x1.f(x)在(-,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数.f(-1)=2 是极大值,f(1)=-2 是极小值.点A(0,16)不
15、在曲线上.设切点为 M(x0,y0),则 y0=x03-3x0.f(x0)=3x02-3.切线方程为 y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0).点A(0,16)在切线上,16-(x03-3x0)=(3x02-3)(-x0).化简得 x03=-8.x0=-2.切线方程为 y-(-8+6)=9(x+2),即 9x-y+16=0.课后练习 2 已知向量 a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数 f(x)=ab 在区间(-1,1)是增函数,求 t 的取值范围.解:由题设 f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t.f(x)=-3x2+2x+t.函数 f(x)在区
16、间(-1,1)是增函数,f(x)0,即-3x2+2x+t0,亦即 t3x2-2x 对 x(-1,1)恒成立.考虑函数 g(x)=3x2-2x,x(-1,1).g(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线 x=,13故 t3x2-2x 对 x(-1,1)恒成立等价于 tg(-1),即 t5.而当 t5 时,f(x)在(-1,1)上满足 f(x)0,故 t 的取值范围是 5,+).即 f(x)在(-1,1)是增函数,课后练习 3 已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点 P(0,2),且在点 M(-1,f(-1)处的切线方程为 6x-y+7=0,(1)求函数 y=f(x)的解析式;(
17、2)求函数 y=f(x)的单调区间.解:(1)函数 f(x)的图象过点 P(0,2),f(0)=2d=2.f(x)=x3+bx2+cx+2,f(x)=3x2+2bx+c.f(x)图象在点 M(-1,f(-1)处的切线方程为 6x-y+7=0,-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,且 f(-1)=6.3-2b+c=6,且-1+b-c+2=1.即 2b-c=-3,且 b-c=0.b=c=-3.f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)由(1)知 f(x)=3x2-6x-3.令 f(x)0 得 x1+2.令 f(x)0 得 1-2 x1+2;f(x)的单调递增区间为(-,1-2)和(1+2,+
18、).f(x)的单调递减区间为(1-2,1+2);课后练习 4 解:(1)由已知 f(x)=3ax2+2bx-2,函数 f(x)在 x=-2,x=1 处取得极值,12a-4b-2=0 且 3a+2b-2=0.由 f(x)0 得-2x0 得 x1.y=f(x)的单调递减区间是(-2,1);单调递增区间是(-,-2)和(1,+).f(-2)=f(1)=0.(2)由(1)知 f(x)=x2+x-2.解得 a=,b=.1213f(x)=x3+x2-2x.1213课后练习 5 设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象如图所示,且与 x 轴在原点相切,若函数极小值为-4,(1)求 a,b,c 的值;
19、(2)求函数的递减区间.解:(1)函数 f(x)的图象过原点,c=0.函数 f(x)的图象与直线 y=0 相切,f(x)=3x2+2ax+b,0=f(0)=302+2a0+b.b=0.f(x)=3x2+2ax.令 f(x)=0 得,x=0 或 x=-a.23故由已知可得当 x=-a 时,函数有极小值-4.23-4=(-a)3+a(-a)2.2323解得 a=-3.故 a,b,c 的值分别为-3,0,0.(2)由(1)知 f(x)=3x2-6x=3x(x-2).令 f(x)0 得 0 x2.函数的递减区间为(0,2).xyo课后练习 6 解:(1)f(x)=-3x2+2ax+b,又当 x=-2
20、时,f(-2)=2,即(-2,2)在曲线上,切线斜率 k=f(-2)=-8.故所求切线方程为 y-2=-8(x+2).已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx 在区间(-2,1)内,当 x=-1 时取得极小值,x=时取得极大值.(1)求函数 y=f(x)在 x=-2 时的对应点的切线方程;(2)求函数 f(x)在-2,1 上的最大值与最小值.23函数 f(x)当 x=-1 时取得极小值,x=时取得极大值,23-1 和为方程-3x2+2ax+b=0 的两根.23-1+=a,-1=-.232323b3解得:a=-,b=2.12f(x)=-x3-x2+2x.12即 8x+y+14=0.课后练习 6 当 x=-2 时,函数 f(x)在-2,1 上取得最大值 2;解:(2)由(1)知函数 f(x)在-2,1 上的最值只可能在点-2,-1,和 1 处取得.2332f(-2)=2,f(-1)=-,f()=,f(1)=,其中 2 最大,-3223122732最小,32当 x=-1 时,函数 f(x)在-2,1 上取得最小值-.已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx 在区间(-2,1)内,当 x=-1 时取得极小值,x=时取得极大值.(1)求函数 y=f(x)在 x=-2 时的对应点的切线方程;(2)求函数 f(x)在-2,1 上的最大值与最小值.23