1、一、高考要求会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx,arccosx,arctanx.根据角 x 的三角函数值求角,通常有以下步骤:1.判断角 x 所在的象限;2.根据角 x 所在象限,求得 0,2 范围内的角;二、重点解析3.用终边相同的角的表达式写出适合条件的角.三、知识要点2.在闭区间 0,上,符合条件 cosx=a(-1a1)的角 x,叫做实数 a 的反余弦,记作:x=arccosa;1.在闭区间-,上,符合条件 sinx=a(-1a1)的角 x,叫做实数 a 的反正弦,记作:x=arcsina;22显然有:sin(arcsina)=a;cos(arccosa)=a(-1a1
2、);3.在开区间(-,)上,符合条件 tanx=a(aR)的角 x,叫做实数 a 的反正切,记作:x=arctana;22tan(arctana)=a(aR).1.已知 cos(-4+)=-.(1)若 02,求角;(2)若-4-3,求角;(3)若角 是第三象限角,求角;(4)若 R,求角.33解:由已知 cos=-,33对于 0,有=arccos(-)=-arccos .3333(1)02,=-arccos 或+arccos .3333满足条件的角有两个:典型例题 (2)-4-3,=-3-arccos .33满足条件的角只有一个:(3)是第三象限的角,=2k+arccos (kZ).33满足条
3、件的角有无穷多个:(4)R,=2k+-arccos 或 2k+arccos (kZ).3333满足条件的角有无穷多个:即=2k+arccos (kZ).332cosA=cotA.2.已知 RtABC 的锐角A满足 2cos2=cotA-cosA+1,求A.2A解:由已知,2cos2 -1=cotA-cosA.2AA是 RtABC 的锐角,cosA0.2=.sinA 112sinA=.6A=.3.已知 tan(-)=,tan=-,且,(0,),求 2-的值.1217解:由已知 tan=tan(-)+1217-1217 1+=13=.tan(2-)=tan(-)+1213+1213 1-=1.ta
4、n0,tan0,(0,),0 ,.22-0,-.2-2-0.2-=-.43由 tan(2-)=1知注 亦可由 tan1 得0 .402 .2-2-0.0 x2,4.已知 sinx+3 cosx+a=0 在 0,2 上有两相异实数解、.(1)求实数 a 的取值范围;(2)求+的值.解:(1)由已知 a=-2sin(x+).3 x+2+.333-2-2sin(x+)2.3(2)函数 y=-2sin(x+)的图象在 0,2 上有两条对称轴:3直线 x=与直线 x=.6673由题设及图象的对称性知,0,或,2.3当,0,时,36+=2=;3当,2时,3+=2=.6737337故+的值为或.实数 a 的
5、取值范围是(-2,-3)(-3,2).又由函数图象知当 a=2 时,方程在 0,2 上只有一解;当 a=-3 时,方程在 0,2 上有三解 0,2.3解:由(1)得5.是否存在锐角 和,使得:(1)+2=;(2)tan tan=2-3同时成立?若存在,求出 和 的值,若不存在,说明理由.23223+=.tan(+)=3.21-tan tan2tan +tan2将(2)代入上式得 tan +tan=3-3.2tan ,tan 是方程 x2-(3-3)x+2-3=0 的两个根.2解得二根为 1 和 2-3.为锐角,0 ,42tan 1.2tan=1.由 为锐角知,=.4=.6故存在锐角=,=,使(
6、1),(2)同时成立.646.已知 0 x,求 sinxcos2x 的最大值及取得最大值时 x 的值.解法 1 0 x0,cos2x0,y=sinxcos2x0.y 与 y2 同时取得最大值.y2=sin2xcos2xcos2x 12()3 2sin2x+cos2x+cos2x3=.274ymax=.2 39此时,2sin2x=cos2x,x=arctan 或-arctan .2222解法 2 令 t=sinx,0 x,t(0,1.记 y=sinxcos2x=sinx-sin3x=t-t3,则 y=1-3t2.当 0t0,33当t1 时,y0,33当 t=时,ymax=,332 39此时,t=
7、sinx=.33即 sinxcos2x 的最大值为.2 39即 sinxcos2x 的最大值为,2 39arcsin 或-arcsin .3333=2sin2xcos2xcos2x12取最大值时,x 的值为:课后练习 121.若 cos(cosx)=,x0,求 x.解:x0,-cosx.又 cos(cosx)=,12 cosx=.3cosx=.13x=arccos ,或 x=arccos(-).13132.若方程 x2-2(tan2+cot2)x+1=0 有一根是 2-3,求 .解:设另一根为 x0,则故有 tan2+cot2-2=0.(2-3)x0=1,(2-3)+x0=2(tan2+cot
8、2),即 tan4-2tan2+1=0.tan2=1,即 tan=1.4=k(kZ).x,2,02-x.解:(1)cosx=-,x0,135x=arccos(-)135=-arccos .135(2)cosx=,45 cos(2-x)=.452-x=arccos .45x=2-arccos .45(3)sinx=-.1715cos(x-)=cos(-x)=sinx=-.2217153.用反余弦表示下列各式中的 x:(1)cosx=-,x0,;(2)cosx=,x,2;(3)sinx=-,x,.13545171523x,23 x-.22x-=arccos(-)=-arccos .21715171
9、51715x=-arccos .234.已知 0 ,0 ,且 3sin=sin(2+),4tan =1-tan2 ,求+的值.4224解:由已知 tan=,122tan 21-tan2 23sin=sin(2+),3sin(+)-=sin(+)+.即 sin(+)cos=2cos(+)sin.tan(+)=2tan=1.0 ,0 ,44 0+.24+=.=sin(+)cos+cos(+)sin.3sin(+)cos-3cos(+)sin5.设方程 x2+3 3 x+4=0 的两根分别为 x1,x2,记=arctanx1,=arctanx2,求+.解:由已知 x1+x2=-3 3 0,x10,x
10、20 且 x1=tan,x2=tan.则 tan(+)=tan+tan1-tantanx1+x21-x1x2=3.又由 x10,x20 知,(-,0),2+(-,0).32+=-.解:由已知 tan=m,6.已知直线的斜率为 m,求直线的倾斜角.故当 m0 时,令 k=0 得=arctanm;则=k+arctanm,kZ.解法1 0,),当 m0 时,0,);当 m0 时,(,).22当 m0 时,令 k=1 得=+arctanm.=arctanm,m0,+arctanm,m0.解法2 当 0,)时;由 tan=m 得=arctanm;2当(,)时,tan(-)=-tan=-m,2-=arctan(-m)=-arctanm.=+arctanm.=arctanm,m0,+arctanm,m0.