1、()=(v0).uv-uvv2 uv一、复习目标掌握两个函数的和、差、积、商的导数运算法则,了解复合函数的求导法则,会求某些函数的导数.二、重点解析在运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导时,要熟记常见函数的导数公式及运算法则.对复合函数的求导,要搞清复合关系,选好中间变量,分清每次是对哪个变量求导,最终要把中间变量换成自变量的函数.三、知识要点1.函数的和、差、积、商的导数:(uv)=uv;(uv)=uv+uv;(cu)=cu(c 为常数);2.复合函数的导数设函数 u=(x)在点 x 处有导数 ux=(x),函数 y=f(u)在点 x的对应点 u 处有导数 yu=f(u),则复合函数 y
2、=f(x)在点 x 处有导数,且 yx=yu ux.或写作 fx(x)=f(u)(x).即复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.典型例题 1 解:(1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3 求下列函数的导数:(1)y=(2x2+3)(3x-2);(2)y=x2sinx+2cosx;(2)y=(x2sinx)+(2cosx)=18x2-8x+9.法2 y=(6x3-4x2+9x-6)(3)y=(x+1)(-1).x1=18x2-8x+9.=(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx)=2x
3、sinx+x2cosx-2sinx.典型例题 1 求下列函数的导数:(3)y=(x+1)(-1).x1解:(3)y=(x+1)(-1)+(x+1)(-1)x1x1=(x +1)(x-1)+(x +1)(x-1)12121212=x-(x-1)+(x +1)(-x-)121212321212=x-1-x-x-1-x-123212121212=-2 x12x x1=-.2x xx+1=-2 x12x x1法2 y=1-x+-1=-x,x1x1x1y=(-x)=-.2x xx+1 典型例题 2 已知 f(x)的导数 f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且 f(0)=2a,若 a2,求不等式 f
4、(x)0 的解集.解:f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.f(0)=2a,b=2a.f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)=(x-a)(x2-x-2)=(x+1)(x-2)(x-a)令(x+1)(x-2)(x-a)0,由于 a2,则当 a=2 时,不等式 f(x)2 时,不等式 f(x)0,得 0t1;令 S(t)1.S(t)在 0,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数.S(t)max=S(1)2e=.典型例题 4 求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1,-1)的切线方程
5、.解:由 y=x3+3x2-5 知 y=3x2+6x,设切点为 P(x0,y0),则y|x=x0=3x02+6x0,曲线在点 P处的切线方程为y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).又切线过点 M(1,-1),-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即 y0=3x03+3x02-6x0-1.而点 P(x0,y0)在曲线上,满足 y0=x03+3x02-5,x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.整理得 x03-3x0+2=0.解得 x0=1 或 x0=2.切点为 P(1,-1)或 P(-2,-1).故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.典型例题 5 已知
6、函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P处有相同的切线.(1)求实数 a,b,c 的值;(2)设函数 F(x)=f(x)+g(x),求 F(x)的单调区间,并指出函数 F(x)在该区间上的单调性.解:(1)f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2,0),a=-8.f(x)=2x3-8x.f(x)=6x2-8.g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2,0),4b+c=0.又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.c=-16.F(x)=2x3+4x2-8x-16.综上所述,实数 a,b,c 的值分别为-8,4,-16.22
7、3+2a=0.f(2)=622-8=16.(2)由(1)知 f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.F(x)=6x2+8x-8.由 F(x)0 得 x ;23由 F(x)0 得-2x0,函数 f(x)=,x(0,+),设 0 x1 .记曲线y=f(x)在点 M(x1,f(x1)处的切线为 l.(1)求 l 的方程;(2)设 l 与 x轴的交点为(x2,0),证明:0 x2;若 x1 ,则 x1x2 .x1-ax 1a2a1a1a(1)解:f(x)=(-a)=(x-1)1x=-x-2=-.1x2切线 l 的方程为 y=-(x-x1)+.x11-ax11x12(2)证:依题意,在切线 l
8、的方程中令 y=0,得x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),ax12,其中 0 x10.又 x10,x2=x1(2-ax1)0.当 x1=时,x2=-a(x1-)2+取得最大值,1a1a1a1a1a0 x2.当 x1 时,ax1x1.又由知 x2 ,1a1ax1x20 得 0 x1;令 f(x)0 得 1f(2).f(0)=0 为函数 f(x)在区间 0,2 上的最小值;求函数 f(x)=ln(1+x)-x2 在区间 0,2 上的最大值和最小值.14解:f(x)=-x,1+x 112又f(0)=0,f(1)=ln2-,f(2)=ln3-10,14f(1)=ln2-为函数 f(x)
9、在区间 0,2 上的最大值.14又切线过原点,解得 x0=-3 或 x0=-15.课后练习 5 解:由已知可设切点为(x0,),其中,x0-5.x0+9 x0+5 试求经过原点且与曲线 y=相切的切线方程.x+9 x+5 y=-(x-5),(x+5)24(x+5)2x+5-x-9 过切点的切线的斜率为-(x0-5).(x0+5)24 x0+9 x0+5 x0=-.(x0+5)24 当 x0=-3 时,y0=3.此时切线的斜率为-1,切线方程为 x+y=0.x+25y=0.35当 x0=-15 时,y0=.此时切线的斜率为-,切线方程为251课后练习 6 已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g
10、(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P处有公共切线,求 f(x)、g(x)的表达式.解:f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2,0),a=-8.f(x)=2x3-8x.f(x)=6x2-8.g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2,0),4b+c=0.又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.c=-16.g(x)=4x2-16.综上所述,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.课后练习 7 设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P点,且曲线在 P点处的切线方程为 12x-y-4=0.若函数在 x=2 处取得极值 0,
11、试确定函数的解析式.解:由已知,P点的坐标为(0,d).曲线在 P点处的切线方程为 12x-y-4=0,120-d-4=0.又切线斜率 k=12,解得:d=-4.故函数在 x=0 处的导数 y|x=0=12.而 y=3ax2+2bx+c,y|x=0=c,c=12.函数在 x=2 处取得极值 0,y|x=2=0 且当 x=2 时,y=0.故有 8a+4b+20=0.12a+4b+12=0,解得 a=2,b=-9.y=2x3-9x2+12x-4.课后练习 8 已知 a0,函数 f(x)=x3-a,x(0,+),设 x10,记曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线为 l.(1)求 l 的方程;(2)设 l 与 x 轴的交点为(x2,0),证明:x2a ;若 x1a,则 a x2a,x13-a0,则31x2-x1=-x13-a 3x12 0,31且由,x2a ,a x2x1.31注:(2)亦可利用导数或基本不等式证明.
