1、第四章 平面向量知识点考纲下载平面向量的实际背景及基本概念1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示向量的线性运算1.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义2掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义3了解向量线性运算的性质及其几何意义第四章 平面向量知识点考纲下载平面向量的基本定理及坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件第四章 平面向量知识点考纲下载平面向量的数量积及向量的应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意
2、义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题第 1 讲 平面向量的概念及线性运算第四章 平面向量1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_(2)零向量：长度为_的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于_的向量(4)平行向量：方向相同或_的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向_的向量(6)相反向量：长度相等且
3、方向_的向量方向模01 个单位相反相同相反2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算交换律：ab_；结合律：(ab)c_减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算aba(b)baa(bc)向量运算定义法则(或几何意义)运算律 数乘求实数 与向量 a 的积的运算|a|_，当 0 时，a 与 a 的方向_；当 0 时，a 与 a 的方向_；当 0 时，a_(a)_；()a_；(ab)_|a|相同相反0()aa aab3.两个向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使得_ba1辨明两个易误点(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点
4、平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个2三点共线的等价关系A，P，B 三点共线APAB(0)OP(1t)OA tOB(O为平面内异于 A，P，B 的任一点，tR)OP xOA yOB(O为平面内异于 A，P，B 的任一点，xR，yR，xy1)1.教材习题改编 如图，D，E，F 分别是ABC 各边的中点，则下列结论错误的是()AEF CDBAB 与DE 共线CBD 与CD 是相反向量DAE 12|AC|D 解析 根据向量的概念可知选 D.2.教材习题改编 下列结论正确的是()A若|a|0，则
5、a0B若 a，b 是两个单位向量，则 abC若 ab，bc，则 acD若 ABAC，则AB ACC 解析 根据向量的概念可知选 C.3.教材习题改编 如图，ABCD 的对角线交于 M，若AB a，ADb，用 a，b 表示MD 为()A12a12b B12a12bC12a12bD12a12bD 解析 MD 12BD 12(ba)12a12b，故选 D.4.教材习题改编 已知 a，b 是非零向量，命题 p：ab，命题 q：|ab|a|b|，则 p 是 q 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A 解析 若 ab，则|ab|2a|2|a|，|a|b|a|a|2|a|即
6、 pq，若|ab|a|b|，由加法的运算知 a 与 b 同向共线，即 ab且 0，故 q/p.所以 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A.5.教材习题改编 向量 e1 与 e2 不共线，若 ae1e2 与 b2e1e2 共线，则 的值为_解析 因为 e1 与 e2 不共线，且 ae1e2 与 b2e1e2 共线，所以存在 R，使 e1e2(2e1e2)2e1e2，得121，所以 2.2 平面向量的有关概念典例引领 给出下列命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；向量AB 与向量CD 共线，则 A、B、C、D 四点共线；如果 ab
7、，bc，那么 ac.其中正确命题的个数为()A1 B2C3 D0D【解析】不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果 b0 时，则 a 与 c 不一定平行 对于向量的概念的三点注意(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能
8、，但向量的模是非负实数，故可以比较大小 通关练习1判断下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若 ab，则|a|b|.其中正确的个数是()A1 B2C3 D4A 解析 只有正确 2设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3D 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时
9、 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点常以选择题、填空题的形式出现高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)求已知向量的和；(2)用已知向量表示未知向量；(3)求参数的值典例引领(1)(2015高考全国卷)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC 3CD，则()AAD 13AB 43ACBAD 13AB 43ACCAD 43AB 13ACDAD 43AB 13AC(2)(2015高考北京卷)在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC，BN NC.若MN xAB y
10、AC，则 x_；y_A 1216【解析】(1)AD AC CD AC 13BC AC 13(AC AB)43AC 13AB 13AB 43AC.(2)因为 AM 2MC，所以AM 23AC.因为 BN NC，所以AN 12(AB AC)，所以MN AN AM 12(AB AC)23AC 12AB 16AC.又MN xAB yAC，所以 x12，y16.向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或
11、三角形中求解 题点通关角度一 求已知向量的和1设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB FC()AAD B12ADCBCD12BCA 解析EB FC 12(AB CB)12(AC BC)12(AB AC)AD，故选 A.角度二 用已知向量表示未知向量2(2017龙岩模拟)如图所示，下列结论正确的是()PQ 32a32b；PT32ab；PS32a12b；PR 32ab.ABCDC 解析 根据向量的加法法则，得PQ 32a32b，故正确；根据向量的减法法则，得PT32a32b，故错误；PSPQ QS 32a32b2b32a12b，故正确；PR PQ QR 32a32b
12、b32a12b，故错误故选 C.角度三 求参数的值3在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD 2DB，CD 13CA CB，则 等于()A23B13C13D23A 解析 如图所示，过点 D 分别作 AC，BC 的平行线，分别交BC，AC 于点 F，E，所以CD CE CF.因为AD 2DB，所以CE 13CA，CF 23CB，故CD 13CA 23CB，所以 23.平面向量共线定理的应用典例引领 已知非零向量 e1，e2 不共线(1)如果AB e1e2，BC 2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：A、B、D 三点共线；(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k
13、的值【解】(1)证明：因为AB e1e2，BD BC CD 2e18e23e13e2 5(e1e2)5AB，所以AB 与BD 共线，且有公共点 B，所以 A、B、D 三点共线(2)因为 ke1e2 与 e1ke2 共线，所以存在，使 ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0，k10，所以 k1.通关练习1已知 a，b 是不共线的向量，AB ab，AC ab，R，则 A，B，C 三点共线的充要条件为()A 2 B 1C 1 D 1D 解析 因为 A、B、C 三点共线，所以AB AC，设AB mAC(m0)，所以 m，1m，所以 1，故选 D.2已知 a，b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同，若 a，tb，13(ab)三向量的终点在同一直线上，则 t_12解析 因为 a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上，且a 与 b 起点相同 所以 atb 与 a13(ab)共线 即 atb 与23a13b 共线 所以存在实数，使 atb23a13b，所以123，t13，解得 32，t12，即 t12时，a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放