1、第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示第四章 平面向量1平面向量基本定理如果 e1、e2 是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，_一对实数 1，2，使 a_其中，不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组_不共线有且只有1e12e2基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_，ab_，a_，|a|_(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB _，|AB|_(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x21
2、y21(x2x1，y2y1)（x2x1）2（y2y1）23平面向量共线的坐标表示设 a (x1，y1)，b (x2，y2)，其 中 b0，ab _x1y2x2y101辨明三个易误点(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的(2)注意运用两个向量 a，b 共线坐标表示的充要条件应为 x1y2x2y10.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息2有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键1.教材习题改编 下列哪组
3、向量可以作为平面向量的一组基底()Ae1(2，4)，e2(1，2)Be1(4，3)，e2(3，8)Ce1(2，3)，e2(2，3)De1(3，0)，e2(4，0)B 解析 对于 A，e12e2，对于 C，e1e2，对于 D，e134e2，对于 B，不存在 R，使 e1e2，故选 B.2.教材习题改编 向量 a，b 满足 ab(1，5)，ab(5，3)，则 b 为()A(3，4)B(3，4)C(3，4)D(3，4)A 解析 由 ab(1，5)，ab(5，3)，得 2b(1，5)(5，3)(6，8)，所以 b12(6，8)(3，4)，故选A.3(2015高考全国卷)已知点 A(0，1)，B(3，2
4、)，向量AC(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7，4)C(1，4)D(1，4)A 解析 法一：设 C(x，y)，则AC(x，y1)(4，3)，所以x4，y2，从而BC(4，2)(3，2)(7，4)故选 A.法二：AB(3，2)(0，1)(3，1)，BC AC AB(4，3)(3，1)(7，4)故选 A.4已知向量 a(1，2)，b(2，3)，若 manb 与 2ab 共线(其中 m，nR 且 n0)，则mn()A2 B2C12D12A 解析 因为 manb(m2n，2m3n)，2ab(0，7)，manb 与 2ab 共线，所以 m2n0，即mn2，故选 A.5.教材习题改编 已知 A(
5、2，3)，B(2，1)，C(1，4)，D(7，t)，若AB 与CD 共线，则 t_解析 AB(2，1)(2，3)(4，4)，CD(7，t)(1，4)(8，t4)因为AB 与CD 共线，所以 4(t4)4(8)0.即 4t160，所以 t4.4 平面向量基本定理及其应用典例引领(1)已知 a(1，1)，b(1，1)，c(1，2)，则 c 等于()A12a32b B12a32bC32a12bD32a12bB(2)(2017江西南昌二模)如图，在ABC 中，设AB a，AC b，AP 的中点为 Q，BQ 的中点为 R，CR 的中点恰为 P，则AP()A12a12bB13a23bC27a47bD47a
6、27bC【解析】(1)设 cab，所以(1，2)(1，1)(1，1)，所以1，2，所以12，32，所以 c12a32b.(2)如图，连接 BP，则APAC CPbPR，APAB BPaRPRB，得 2APabRB，又RB 12QB 12(AB AQ)12a12AP，将代入，得 2APab12a12AP，解得AP27a47b.用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理 通关练习1(2017潍坊模拟)在ABC 中，P，Q 分
7、别是 AB，BC 的三等分点，且 AP13AB，BQ13BC，若AB a，AC b，则PQ()A13a13bB13a13bC13a13bD13a13bA 解析 由题意知PQ PB BQ 23AB 13BC 23AB 13(AC AB)13AB 13AC 13a13b，故选 A.2(2017绵阳模拟)在ABC 中，AN 12AC，P 是 BN 上一点，若APmAB 38AC，则实数 m 的值为_14解析 法一：因为 B，P，N 三点共线，所以BPPN，设BPPN，即APAB(AN AP)，AP 11AB 1AN，又AN 12AC，所以AC 2AN，所以APmAB 38AC mAB 34AN，结合
8、，由平面向量的基本定理可得 11m，134，得 m14.法二：因为 B，P，N 三点共线，所 以 AP t AB (1 t)AN t AB 12(1 t)AC，所 以mt12（1t）38，解得 mt14.平面向量的坐标运算典例引领 已知 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设AB a，BC b，CA c，且CM 3c，CN 2b.(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M、N 的坐标及向量MN 的坐标【解】由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因为 mb
9、nc(6mn，3m8n)，所以6mn5，3m8n5，解得m1，n1.(3)设 O 为坐标原点，因为CM OM OC 3c，所以OM 3cOC(3，24)(3，4)(0，20)所以 M(0，20)又因为CN ON OC 2b，所以ON 2bOC(12，6)(3，4)(9，2)，所以 N(9，2)所以MN(9，18)平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用通关练习1在ABC 中，点 P 在 BC 上，
10、且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4，3)，PQ(1，5)，则BC 等于()A(2，7)B(6，21)C(2，7)D(6，21)B 解析 BC 3PC 3(2PQ PA)6PQ 3PA(6，30)(12，9)(6，21)2(2017开封月考)平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C(1，c)(c0)，且|OC|2，若OC OA OB，则实数，的值分别是_解析 因为|OC|2，所以|OC|21c24，因为 c0，所以 c 3.因为OC OA OB，所以(1，3)(1，0)(0，1)，所以 1，3.1，3 平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表
11、示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，属容易题高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：(1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；(3)三点共线问题典例引领 已知 a(1，0)，b(2，1)(1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线；(2)若AB 2a3b，BC amb，且 A，B，C 三点共线，求 m的值【解】(1)因为 a(1，0)，b(2，1)，所以 kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)，因为 kab 与 a2b 共线，所以 2(k2)(1)50，所以 k12.(2)AB 2(1，0)3
12、(2，1)(8，3)，BC(1，0)m(2，1)(2m1，m)因为 A，B，C 三点共线，所以AB BC，所以 8m3(2m1)0，所以 m32.(1)向量共线的两种表示形式 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.(2)两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值.题点通关角度一 利用两向量共线求参数1(2017广州一模)设向量 a(x，1)，b(4，x)，若 a，b 方向相反，则实数 x
13、 的值为()A0 B2C2 D2D 解析 由题意得 x2140，解得 x2.当 x2 时，a(2，1)，b(4，2)，此时 a，b 方向相同，不符合题意，舍去；当 x2 时，a(2，1)，b(4，2)，此时 a，b 方向相反，符合题意 角度二 利用两向量共线的条件求向量坐标2已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O 为坐标原点，则 AC与 OB 的交点 P 的坐标为_(3，3)解析 法一：由 O，P，B 三点共线，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44，4)又AC OC OA(2，6)，由AP与AC 共线，得(44)64(2)0，解得 34，所以OP 34OB(3，3)，
14、所以 P 点的坐标为(3，3)法二：设点 P(x，y)，则OP(x，y)，因为OB(4，4)，且OP 与OB 共线，所以x4y4，即 xy.又AP(x4，y)，AC(2，6)，且AP与AC 共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以 P 点的坐标为(3，3)角度三 三点共线问题3已知向量OA(1，3)，OB(2，1)，OC(k1，k2)，若 A、B、C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是()Ak2 Bk12Ck1 Dk1C 解析 若点 A、B、C 不能构成三角形，则向量AB，AC 共线，因为AB OB OA(2，1)(1，3)(1，2)，AC OC OA(k1，k2)(1，3)(k，k1)，所以 1(k1)2k0，解得 k1.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
