1、素养专题(六)圆锥曲线问题的优化运算策略授课提示：对应学生用书第176页圆锥曲线问题运算量大，综合性强，因此，在解答圆锥曲线问题时必须研究技巧与策略，寻求突破点，选用适当方法，以求做到选择捷径、简化计算、避繁就简、合理解题，收到事半功倍之效法1回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果例1圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|
2、EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程思路点拨通过平行线的性质，结合圆的相关性质，通过三角形中等角对等边的转化确定定值问题，并利用椭圆的定义来求解相应的轨迹方程证明如图所示，因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|，又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4，由题设得A(1，0)，B(1，0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)评析本题主要考查平行线的性质，圆的相关性质与三角形的性质，椭圆的定义与轨迹方程的求解圆锥曲线的定义揭示的是事物的本质属性法2巧设参数，变换主元巧设参数的
3、实质是通过引入参变量加以替换，使得圆锥曲线中相关或不相关的量统一在参变量下，减少未知量的个数，这样解决问题更方便，同时可以进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变例2设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆C：(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1，3)B(1，4)C(2，3) D.(2，4)思路点拨先设出直线l的方程xtym(这样可以避免讨论直线的斜率是否存在问题)，根据直线与抛物线相交于两点得到16t216m0，结合根与系数的关系与中点坐标公式确定点M的坐标，利用直线l与圆相切，分别得到两直线垂直以及半径的关系式，进
4、而得以判断r的取值范围解析不妨设直线l的方程为xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y24x并整理得y24ty4m0，则有16t216m0，y1y24t，y1y24m，那么x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，可得线段AB的中点M(2t2m，2t)，而由题可得直线AB与直线MC垂直，即kMCkAB1，可得1，整理得m32t2(当t0时)，把m32t2代入16t216m0，可得3t20，即0t23.又由于圆心到直线的距离等于半径，即d2r，而由0t23可得2r4.答案D评析本题主要考查直线与抛物线的位置关系，直线的方程与应用，点到直线的距离公式，考查运算求解能力、函数与方
5、程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等巧妙通过直线方程的设置，引入参数，利用直线与圆锥曲线的位置关系加以转化，结合题目条件通过分析参数的取值范围达到解决问题的目的法3数形结合、偷梁换柱在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题例3已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_思路点拨要求APF的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析根据直线与双
6、曲线的位置关系，通过数形结合确定点P的位置，通过求解点P的坐标进而利用三角形的面积公式来处理解析设双曲线的左焦点为F1，根据双曲线的定义可知|PF|2a|PF1|，则APF的周长为|PA|PF|AF|PA|2a|PF1|AF|PA|PF1|AF|2a，由于|AF|2a是定值，要使APF的周长最小，则|PA|PF1|最小，即P，A，F1共线，由于A(0，6)，F1(3，0)，则直线AF1的方程为1，即x3，代入双曲线方程整理可得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以点P的纵坐标为2，所以SAPFSAFF1SPFF1666212.答案12评析本题主要考查双曲线的定义、标准方程与几何性质，直线
7、方程，直线与双曲线的位置关系等法4极端策略，围魏救赵极端策略是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变通过圆锥曲线问题的极端元素，灵活借助极端策略解题，可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低难度，是简化圆锥曲线运算的一条有效且重要途径例4设双曲线x21的左、右焦点分别为F1、F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_思路点拨根据双曲线的定义得到关系式|PF1|PF2|2，通过分类讨论，结合极限思想确定当F1PF290时与当F1F2P90时关系式的最值，数形结合即可得F1PF2为锐角三角形时关系式的取值范围解析
8、由题可得a1，b，c2，不失一般性，假定P是双曲线上第一象限内的点，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2，则有|PF1|PF2|2，当F1PF290时，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，可得|PF2|22|PF2|60.解得|PF2|1(负值舍去)此时|PF1|PF2|2；当F1F2P90时，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，可得|PF2|3，此时|PF1|PF2|8；而F1PF2为锐角三角形，数形结合可得|PF1|PF2|(2，8)答案(2，8)评析本题主要考查双曲线的定义、标准方程与几何性质，焦点三角形问题应用极端策略来解决一些问题时，可以避开抽象、复杂的运算，独辟蹊径，降低解题难度，优化解题过程，起到事半功倍的效果