1、素养专题(五)立体几何问题的奇法妙解授课提示：对应学生用书第147页法1模型法一、模型法判断空间位置关系在进行空间线面位置关系的分析判断时，借助几何体模型能起到非常直观的作用，提高解题的准确率例1已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的序号是() 若l，m，l，m，则；若l，l，m，则lm；若l，则l；若l，lm，则m.ABC D思路点拨长方体中存在各种平行、垂直关系，以长方体为模型，结合选项，考虑线面位置的各种可能，作出判断解析命题，如图(1)，显然不正确，排除选项A，B，根据选项C，D，可知一定正确，对于命题，如图(2)，有直线l在平面内的可能，所以命题不正确综上可
2、知，选C.答案C二、模型法还原几何体空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分，根据题目的实际情况，判断其可能是哪个几何体的一个部分，利用该几何体为模型，可以较为方便地判断出三视图表示的空间几何体例2已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.C. D.思路点拨根据三视图可以判断该空间几何体是正方体的一部分，先画出正方体，再根据三视图确定空间几何体解析该几何体的直观图如图，其体积为正方体体积的，即该几何体的体积为111，故选A.答案A法2割补法一、分割法求空间几何体的体积把一个不规则的几何体分割成几个规则的几何体，求出每个规则几何体的体积，然后进行体积求和即可例3如图所
3、示，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积思路点拨该几何体为不规则几何体，可将其分割为规则几何体后求体积解析法一：如图(1)，连接EB，EC，则该多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC.V四棱锥EABCD42316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF.连接AC，有V三棱锥FEBCV三棱锥CEFBV三棱锥CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4.故该多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420.法二：如图(2)，设点G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，H
4、G，则EGFB，EHFC，GHBC，得三棱柱EGHFBC和四棱锥EAGHD.由题意得V四棱锥EAGHDS矩形AGHD34238.连接CE，BE，BH，则V三棱柱EGHFBC3V三棱锥EBGH3V四棱锥EGBCHV四棱锥EAGHD812.故该多面体的体积VV四棱锥EAGHDV三棱柱EGHFBC81220.二、补形法求空间几何体的体积当求某些几何体的体积较困难时，可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体、长方体等对称性比较好的几何体，以此来求几何体的体积常见情况如下：将正四面体补为正方体，如图所示将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图所示将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图所示，PA
5、PB，PAPC，PBPC.将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图(1)(2)所示将三棱柱补成平行六面体，如图所示将台体补成锥体，如图所示法3展开法涉及空间几何体表面上折线、曲线长度之和的最值问题时，把空间几何体的表面展开例4如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1.(1)若点D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；(2)求三棱锥PABC体积的最大值；(3)若BC，点E在线段PB上，求CEOE的最小值思路点拨(1)(2)(3)解析(1)证明：在AOC中，因为OAOC，点D为AC的中点，所以ACDO.又PO垂直于圆O所在的平面，所以POAC.因为D
6、OPOO，DO平面PDO，PO平面PDO，所以AC平面PDO.(2)因为点C在圆O上，所以当COAB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB2，所以ABC面积的最大值为211.又因为三棱锥PABC的高PO1，故三棱锥PABC体积的最大值为11.(3)在POB中，POOB1，POB90，所以PB.同理，PC，所以PBPCBC.在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BCP，使之与平面ABP共面，如图所示当O，E，C共线时，CEOE取得最小值又因为OPOB，CPCB，所以OC垂直平分PB，即E为PB中点从而OCOEEC，亦即CEOE的最小值为.法4函数法涉及空间几何体的体积、面
7、积的最值问题时，常利用函数法求解，将求最值的量表示为某变量的函数，利用函数性质求最值，特别要注意变量的取值范围，避免求解错误例5如图，在四面体ABCD中，ABCD2，ADBD3，ACBC4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，求四边形EFGH面积的最大值解析直线AB平面EFGH，AB平面ABC，平面ABC平面EFGHGH，HGAB.同理，EFAB，FGCD，EHCD，FGEH，EFHG，故四边形EFGH为平行四边形利用ADBD，ACBC，易证得ABCD，EFFG，所以四边形EFGH为矩形设BFBDBGBCFGCDx(0x1)，则FG2x，HG2(1x)，S四边形EFGHFGHG4x(1x)441，根据二次函数的性质可知，当x时，S四边形EFGH取得最大值，为1.