1、第一节数列的概念与简单表示法授课提示：对应学生用书第88页基础梳理1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表示，这个公式叫作数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an叫作数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图像法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，
2、则an4数列的分类1与函数的关系：数列是一种特殊的函数，定义域为N或其有限子集数列的图像是一群孤立的点2周期性：若ankan(nN，k为非零正整数)，则an为周期数列，k为an的一个周期四基自测1(基础点：数列的项)已知数列an的通项公式为an912n，则在下列各数中，不是an的项的是()A21B33C152 D153答案：C2(基础点：数列递推关系)在数列an中，a11，an1(n2)，则a4()A.BC.D答案：B3(基础点：数列的前n项和)设Sn为数列an的前n项和，已知S40，a55，则S5为_答案：54(易错点：数列的通项公式)数列1，的一个通项公式an_答案：授课提示：对应学生用书
3、第89页考点一数列的项与通项公式挖掘1判断通项公式/ 自主练透例1(1)下列公式可作为数列an：1，2，1，2，1，2，的通项公式的是()Aan1BanCan2 Dan解析由an2可得a11，a22，a31，a42，.故选C.答案C(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：1，7，13，19，；0.8，0.88，0.888，；，；，1，；0，1，0，1，.解析符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an.各项的分母分别为2
4、1，22，23，24，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列可化为，an(1)n.将数列统一为，对于分子3，5，7，9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2，5，10，17，联想到数列1，4，9，16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得它的一个通项公式为an.an破题技法1.已知数列的前n项写出一个通项公式，主要考查的是逻辑推理与归纳常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法由于只给出了部分规律，符合这几个特殊项的通项公式并不唯一2具体策略：(1)分式中分子、
5、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)各项的符号特征和绝对值特征；(4)对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(5)对于正负号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN处理挖掘2判断数列的项/ 自主练透例2(1)已知数列，2，则2是这个数列的()A第6项 B第7项C第19项 D第11项解析数列即：，据此可得数列的通项公式为：an，由2，解得：n7，即2是这个数列的第7项答案B(2)如果一个数列an的通项公式ann22n3.求a10；83是否为该数列的项，如果是，是数列的第几项解析当n10，a101002103123.如果n22n383，即n22n800.(
6、n10)(n8)0，n8(n10舍)，故83是这个数列的第8项考点二已知递推关系求通项公式挖掘求通项公式/ 互动探究例根据下列已知条件，求数列an的通项公式：累加法：(1)a12，an1anln；累乘法：(2)a1，anan1(n2)；构造法：(3)a11，an12an3；辅助数列法：(4)a1，an1an；取倒数：(5)a11，an；取对数：(6)a13，an1a.解析(1)因为an1anln，所以an1anln(n1)，所以anan1ln(n2)，所以an1an2ln，a2a1ln(n2)，所以ana1lnlnlnln n(n2)，所以anln na1(n2)，又a12，所以anln n2
7、.(2)因为anan1(n2)，所以当n2时，所以，以上n1个式子相乘得，即21，所以an.当n1时，a1，也与已知a1相符，所以数列an的通项公式为an.(3)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3，故递推公式为an132(an3)令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列所以bn42n12n1，即an2n13.(4)在an1an两边分别乘以2n1，得2n1an1(2nan)1.令bn2nan，则bn1bn1，根据待定系数法，得bn13(bn3)所以数列bn3是首项为b1323，公比为的等比数列所以bn3，即b
8、n32.于是，an32.(5)取倒数，得3.是等差数列，3(n1)13(n1)an.(6)由题意知an0，将an1a两边取常用对数得到lg an12lg an，即2，所以数列lg an是以lg a1lg 3为首项，2为公比的等比数列所以lg an(lg 3)2n1，所以an32n1.破题技法常见求通项公式的方法方法转化过程适合题型累加法(a2a1)(a3a2)(anan1)ana1an1anf(n)(f(n)可求和)累乘法f(n)，f(n)可求积构造法由an1panq化为an1mp(anm)，构造anm为等比数列an1panq辅助数列法由an1panqn化为，放入辅助数列bn，bn1bn，再构
9、造数列an1panrqn取倒数法an取倒数得，令bnan取对数对anpa化为lg anrlg an1lg p令bnlg ananpa(n2，p0)考点三Sn与an的关系的应用挖掘1已知Sn求an/自主练透例1(1)已知数列an的前n项和Sn2n1，则a2a6()A.BC16 D64解析a2S2S1(221)(211)2，a6S6S5(261)(251)2532，a2a664.答案D(2)(2020广东化州第二次模拟)已知Sn为数列an的前n项和，且log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为_解析由log2(Sn1)n1，得Sn12n1，当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn12n，所
10、以数列an的通项公式为an答案an挖掘2已知Sn与an的关系/互动探究例2(1)(2018高考全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_解析Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1，即an2an1，当n1时，a1S12a11，得a11.数列an是首项a1为1，公比q为2的等比数列，Sn12n，S612663.答案63(2)(2020广东江门模拟)记数列an的前n项和为Sn，若任意nN，2Snan1，则a2 020_解析2Snan1，2Sn1an11(n2)，2Sn2Sn12ananan1(n2)，即anan1(n2)，又2S12a1a11，a11，
11、a2 020a2a11.答案1破题技法Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解1在例2(2)中，an的通项公式an_答案：(1)n12在例1(1)中，可否求通项公式an?解析：当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n1，a11适合an2n1，故an2n1.考点四数列的性质例已知数列an满足2，a120，则的最小值为()A4B41C8 D9解析由an1an2n知：a2a121，a3a222
12、，anan12(n1)，n2，以上各式相加得ana1n2n，n2，所以ann2n20，n2，当n1时，a120符合上式，所以ann2n20，nN，所以n1，nN，所以n4时单调递减，n5时单调递增，因为，所以的最小值为8，故选C.答案C破题技法1.类比周期函数的概念，我们可以定义：对于数列an，如果存在一个常数T(TN)，使得对于任意的正整数nn0，恒有anTan成立，那么称数列an是从第n0项起的周期为T的周期数列若n01，则称数列an为纯周期数列；若n02，则称数列an为混周期数列T的最小值称为最小正周期，简称周期2解决数列周期性问题时，可先根据已知条件求出数列的前几项，当出现各项重复性地
13、出现后，便可由此确定该数列的最小正周期T，再根据公式anTan将所求项转化为较小的项，从而求得该项的值3求数列的最大项、最小项的常见方法(1)利用“两边夹”思想设an为数列an中的最大项，则有(n2)解出适合上述不等式组的n值，从而确定数列的最大项类似地，设an为数列an中的最小项，则有(n2)解出适合上述不等式组的n值，便能确定数列的最小项(2)利用函数思想数列是特殊函数，具有函数的一些特性，求数列项的最值完全可以依据研究函数最值的方法解决，但特别要注意数列的项数n只能是正整数根据条件构造相应的函数，通过配方、作差、作商等方法来确定函数的单调性，进而确定数列的单调性，再求出数列的最大项或最小
14、项给出一个数列an，若能够判断数列an为递增数列，则该数列具有以下性质：a1a2an，故(an)mina1.反之，若该数列为递减数列，则有a1a2an，故(an)maxa1.1在数列an中，a1，an1(n2，nN)，则a2 020的值为()AB5C. D.解析：在数列an中，a1，an1(n2，nN)，所以a215，a31，a41，所以an是以3为周期的周期数列，所以a2 020a67331a1.答案：A2(2020江西宜春期末测试)已知函数f(x)若数列an满足a1，an1f(an)(nN)，则a2 019()A. B.C. D.解析：由题意，知a2f()，a3f()，a4f()，a5f()，a6f()，a7f()，故数列an从第三项起构成周期数列，且周期为3，故a2 019a3.故选D.答案：D