1、第2讲解三角形 正、余弦定理在平面几何中的应用1.(2015广西南宁二模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由=及正弦定理得=.所以整理得a2+c2-b2=ac,所以cos B=,所以B=.故选C.2.(2015遵义市高三联考)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2+bc-a2=0,则的值为(A)(A)(B)-(C)(D)-解析:因为b2+c2+bc-a2=0,所以b2+c2-a2=-bc.所以cos A=-.所以A=.由正弦定理可知,=sin A=.故选A.3.(2015河南六市联考)在锐角ABC中,角
2、A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=2,SABC=,则b的值为(A)(A)(B)(C)2 (D)2解析:因为SABC=bcsin A=bc=,所以bc=3.因为sin A=且A为锐角,所以cos A=.所以由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,即4=b2+c2-23,所以b2+c2=6. 由可解得b=c=.故选A.4.(2015赤峰市高三统考)已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C所对的边,且满足(2c+b)cos A+acos B=0,若a=4,则ABC面积的最大值是.解析:由(2c+b)cos A+acos B=0及正弦定理得,(2sin C+sin
3、B)cos A+sin Acos B=0.所以2sin Ccos A+sin C=0.又因为sin C0,所以cos A=-.又A(0,),所以A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即16=b2+c2-2bccos =b2+c2+bc3bc.所以bc,当且仅当b=c=时,等号成立,所以SABC=bcsin A=bc=.答案: 三角恒等变换与解三角形的综合5.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos C,bcos B,ccos A成等差数列,则B等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为acos C,bcos B,ccos A成等差数列,所以acos C+cco
4、s A=2bcos B,根据正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,即sin (A+C)=2sin Bcos B,又A+B+C=,所以sin B=2sin Bcos B,又sin B0,所以cos B=,又B(0,),所以B=,故选C.6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示ABC的面积,若acos B+bcos A=csin C,S=(b2+c2-a2),则B等于(B)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:根据正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,即sin (A+B)=sin C=sin2C,因为
5、sin C0,所以sin C=1,即C=90.由S=(b2+c2-a2),得bcsin A=(b2+c2-a2),即sin A=cos A,即tan A=1,又A(0,180),所以A=45,所以B=45.故选B.7.(2015江西九江二模)在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60.(1)若sin C+cos C=cos B,求B和C的大小;(2)若a=,求ABC周长的取值范围.解:(1)由A=60,得C=120-B,代入sin C+cos C=cos B得,sin(120-B)+cos(120-B)=cos B.即sin B=cos B,所以tan B=1.又0B120,
6、所以B=45,C=75.(2)法一由正弦定理得=2,设ABC的周长为y,则y=2sin B+2sin C+=2sin B+2sin(120-B)+=2sin(B+30)+.又因为0B120,即30B+30150,所以sin(B+30)1.从而2a,所以b+c.所以ABC周长的取值范围是(2,3. 正、余弦定理的实际应用8.(2015吉林模拟)一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西45,另一灯塔在船的南偏西75,则这艘船的速度是每小时(D)(A)5海里 (B)5(-1)海里(C)10海里(D)10(-1)海里解析:如图所
7、示,依题意有BAC=45,BAD=75,所以CAD=30,CDA=15,在ACD中,由正弦定理得=20,则AC=20sin 15=5(-),在直角三角形ABC中,得AB=ACsin 45=5(-1),于是这艘船的速度是=10(-1)(海里/小时).故选D.9.已知甲船正在大海上航行,当它位于A处时获知,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达.(1)试问乙船航行速度的大小;(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,结果精确到1).解:
8、(1)设C与B的距离为x海里,所用时间为=2(小时),则x2=AC2+AB2-2ABACcos 120=102+202+22010=700,所以x=10.v乙=5(海里/小时),所以乙船航行速度为5海里/小时.(2)设ACB=,则=,=,则sin =,得41,所以乙船应朝北偏东71的方向沿直线前往B处救援.一、选择题1.在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:根据正弦定理,2sin Asin B=sin B,所以sin A=,又ABC为锐角三角形,所以A=.故选D.2.(2015广东卷)设ABC的内角A,B,C的对边分
9、别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=且bc,则b等于(C)(A)3(B)2(C)2(D)解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即4=b2+12-6bb2-6b+8=0(b-2)(b-4)=0,由bB,则BD等于(B)(A)2或4(B)1或3(C)3或2(D)4或1解析:在ABC中,由正弦定理,得sin B=,所以B=45或B=135,又BACB,所以B=45.因为AD=,则在ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos 45,即5=8+BD2-22BDcos 45,解得BD=1或BD=3.故选B.10.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
10、且a2+b2=mc2(m为常数),若tan C(tan A+tan B)=2tan Atan B,则m的值为(A)(A)2(B)4(C)7(D)8解析:因为tan C(tan A+tan B)=2tan Atan B,所以=tan C.即=.所以sin Asin Bcos C=sin Csin (A+B)=sin2 C.由正弦定理,上式可化为abcos C=c2, 由余弦定理知,cos C=. 由得,a2+b2=2c2.因为a2+b2=mc2,所以m=2.选A.二、填空题11.(2015北京卷)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.解析:在ABC中,cos A=,由正弦定理可知=1.答案:
11、112.(2015宁夏石嘴山高三联考)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,且sin C=sin B,则ABC的内角A=.解析:因为cos C=,所以整理得a2+c2=b2.所以B=.所以sin B=1.又由sin C=sin B可得sin C=,所以C=.所以A=.答案:13.(2014广东卷)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=.解析:根据正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入已知式子中,可得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即sin A=2si
12、n B,由此可知a=2b,即=2.答案:214.(2015湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.解析:在ABC中,BAC=30,BCA=75-30=45,所以由正弦定理得,BC=AB=600=600=300.在BCD中,CD=BCtan 30=300=100.故此山的高度为100 m.答案:100 正、余弦定理的简单应用训练提示:利用正、余弦定理解三角形的关键是正确判断边角关系,合理选择正、余弦定理,实现边角互化,注意题目中的隐含条件,如A
13、+B+C=,大边对大角等.同时注意方程思想的应用.1.(2015安徽卷)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解:设ABC的内角BAC,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos BAC=(3)2+62-236cos =18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由题设知0B0,所以A(0,).于是sin A+sin C=sin A+sin(-2A)=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2(sin A-)2+.因为0A,所以0sin A,因此-2(sin A-)2+.由此
14、可知sin A+sin C的取值范围是(,. 正、余弦定理的实际应用训练提示:利用正、余弦定理解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型,即转化为三角形中解决.注意基线的选取,基线所在的三角形往往是解决问题的突破口.5.(2015厦门模拟)某度假区依山修建了高山滑雪场.为了适应不同人群的需要,从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A-C-P和滑雪练习道A-E-P(如图).已知cosACP=-,cosAPC=,cosAPE=,公路AP长为10(单位:百米),滑道EP长为6(单位:百米). (1)求滑道CP的长度;(2)由于C,E处是事故的高发区,为及时处理事故,度假区计划在公路AP上找一处D,修建连接道DC,DE.问DP多长时,才能使连接道DC+DE最短,最短为多少百米?解:(1)因为cosACP=-,cosAPC=,所以sinACP=,sinAPC=.sinPAC=sin(APC+ACP)=sinAPCcosACP+sinACPcosAPC=,由=,得CP=5.所以滑道CP的长度是5百米.(2)设DP=x,x0,10.因为EP=6,CP=5,cosAPC=,cosAPE=,所以DE=.DC=,所以DE+DC=+令f(x)=DE+DC=+=+,当且仅当x=4时,f(x)min=f(4)=3+2.所以当DP为4百米时,DE+DC最短,为(3+2)百米.