1、第二十三讲 平面向量的概念及线性运算一选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2010四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外, =16,|则|=()A.8B.4C.2D.1解析:由可知,则AM为RtABC斜边BC上的中线,因此,|选C.答案:C2.已知ABC中,点D在BC边上,且则r+s的值是() C.-3 D.0解析:又r=,r+s=0.故选D.答案:D3.平面向量a,b共线的充要条件是()A.a,b方向相同B.a,b两向量中至少有一个为0C.存在R,使b=aD.存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0解析:a,b共线时,a,b方向
2、相同或相反,故A错.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故B错.当b=a时,a,b一定共线,若b0,a=0.则b=a不成立,故C错.排除A、B、C,故选D.答案:D4.已知OAB是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足则等于( )解析:故选A.答案:A5.设DEF分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与A.反向平行B.同向平行C.不平行D.无法判断解析:故选A.答案:A6.已知a,b是不共线的向量, =a+b, =a+b,(,R),那么A、B、C三点共线的充要条件为()A.+=2 B.-=1C.=-1 D.=1解析:对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由A、
3、B、C三点共线a+b=ma+mb(-m)a=(m-1)b.因为a,b不共线,所以必有故可得=1.反之,若=1,则=所以 (a+b)=所以A、B、C三点共线.故选D.答案:D二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.若点O是ABC所在平面内的一点,且满足,则ABC的形状为_.解析:故ABC为矩形的三个顶点,ABC为直角三角形.答案:直角三角形8.在平行四边形ABCD中,EF分别是边CD和BC的中点,若=+u其中,uR,则+u=_.解析:设则=b-a,代入条件得=u=,+u=.答案: 9.如图,平面内有三个向量其中与的夹角为120,与的夹角为30,且|=|
4、=1,| |=,若= (,R),则+的值为_.解析:过C作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由BOC=90,AOC=30,|,得平行四边形的边长为2和4,故+=2+4=6.答案:610.如图,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若则m+n的值为_.解析:由于MN的任意性可用特殊位置法:当MN与BC重合时知m=1,n=1,故m+n=2.答案:2三解答题:(本大题共3小题,1112题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11若a，b是两个不共线的非零向量，tR，若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在一条直线
5、上？解：设atbma(ab)，mR，化简得ab，a与b不共线，t时，a，tb，(ab)的终点在一条直线上12.设a、b是不共线的两个非零向量,(1)若=a-3b,求证:A、B、C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.解:(1)证明: (3a+b)-(2a-b)=a+2b.而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2与共线,且有公共端点B,A、B、C三点共线.(2)8a+kb与ka+2b共线,存在实数使得8a+kb=(ka+2b)(8-k)a+(k-2)b=0,a与b是不共线的两个非零向量,8222，k24.13.如图所示,ABC中,点M是BC的中点,点N在AC边上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求APPM的值.解:设=e1, e2,则=-3e2-e1, 2e1+e2,APM和BPN分别共线,存在R,使=-e1-3e2, =2e1+e2.故=(+2)e1+(3+)e2,而2e1+3e2,由平面向量基本定理得，即AP:PM=4:1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m