1、8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质定理课后训练提升基础巩固1.设平面平面,在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D.过a的平面与过b的平面垂直答案C2.已知二面角-l-是直二面角,m为直线,为平面,则下列命题为真命题的是()A.若m,则mB.若m,则mC.若m,则mD.若,则解析对于A,若m,则m与相交或m或m,故A错误;对于B,若m,则m或m,故B错误;对于C,若m,则m与相交或m或m,故C错误;对于D,若,则,故D正确.答案D3.下列结论错误的是()A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线
2、平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面D.如果平面平面,过内任意一点作一条直线与交线垂直,那么此直线必垂直于答案D4.如图,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PAAD,下列结论不正确的是()A.PDBDB.PDCDC.PBBCD.PABD解析因为PAAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PA平面PAD,所以PA平面ABCD,所以PABD.故D正确.同理CD平面PAD,所以PDCD.故B正确.因为PA平面ABCD,所以PABC,又BCAB,PAAB=A,所以BC平面PAB,所以PBBC.
3、故C正确.若PDBD,又PABD,PAPD=P,则BD平面PAD,则BDAD,显然不成立,故A不正确.答案A5.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=6,平面PAB平面ABC,PAPB,ABBC,BAC=30,则PC=()A.6B.26C.10D.210解析因为PA=PB=6,PAPB,所以AB=23.因为ABBC,BAC=30,所以BC=ABtan 30=2.因为平面PAB平面ABC,ABBC,平面PAB平面ABC=AB,BC平面ABC,所以BC平面PAB,所以BCPB,所以PC=PB2+BC2=10.答案C6. 如图,平面平面,在与的交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面和内,ACAB,B
4、DAB,AC=3,BD=12,则CD=()A.8B.10C.13D.16解析如图,连接BC.BDAB,=AB,BD,BD.BC,BDBC,在RtBAC中,BC=32+42=5.在RtCBD中,CD=52+122=13.答案C7.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,PCA=90,ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是边AB上的一动点,则PM的最小值为.解析如图,连接CM,由题意可知PC平面ABC,则PCCM,所以PM=PC2+CM2.要求PM的最小值,只需求出CM的最小值即可.在ABC中,当CMAB时,CM取得最小值,此时CM=432=23,所以PM的最小值为27.答案278.
5、如图,在三棱锥P-ABC中,ABC=90,PAC=90,平面PAC平面ABC.求证:平面PAB平面PBC.证明平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PAAC,PA平面PAC,PA平面ABC.又BC平面ABC,PABC.又ABBC,ABPA=A,BC平面PAB.又BC平面PBC,平面PAB平面PBC.9.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC底面ABCD,则PA与BD是否相互垂直,请证明你的结论.解PA与BD互相垂直.证明如下:如图,取BC的中点O,连接PO,AO.PB=PC,POBC.又侧面PBC底面ABCD,
6、侧面PBC底面ABCD=BC,PO底面ABCD,POBD.AB=BC=2CD,BO=CD.又ABO=BCD=90,ABOBCD,BAO=CBD.又CBD+ABD=90,BAO+ABD=90,AOBD.又POAO=O,BD平面PAO,BDPA,PA与BD相互垂直.能力提升1.已知平面平面,且平面与平面相交于直线l,直线a,直线b,a,b与l不重合,则下列结论错误的是()A.若ab,则al,blB.若ab,则al,且blC.若直线a,b都不平行于直线l,则直线a必不平行于直线bD.若直线a,b都不垂直于直线l,则直线a必不垂直于直线b解析对于A,因为平面平面,且平面与平面相交于直线l,a,所以a,
7、又ab,b.所以a,又平面与平面相交于直线l,a,所以al,同理bl,故A正确.对于B,若al,而平面平面,平面平面=l,a,则a平面,又b,则ab一定成立,但b与l不一定垂直,故B错误.对于C,假设ab,由A可知al,bl,与已知矛盾,故假设不成立,故C正确.对于D,假设ab,因为直线a,b都不垂直于直线l,所以在平面内,存在直线cl,且c与a相交,根据面面垂直的性质定理,可知c,而b,所以cb,而ab,a与c相交,所以b,又l,所以bl,这与已知矛盾,故假设不成立,故D正确.答案B2.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则()A.若,=n,mn,则mB.若,m,则mC.若,m,n,
8、则mnD.若mn,n,则m答案C3.已知三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心解析如图,由题意易知AP平面PBC.因为BC平面PBC,所以APBC.因为PH平面ABC,BC平面ABC,所以PHBC.又APPH=P,所以BC平面APH.又AH平面APH,所以AHBC.同理可得CHAB.故H为ABC的垂心.答案C4.如图,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且DAB=60,AB的长为a.PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为,则=,PB与AD的位置关系是.答案45垂直5.在三棱柱ABC-ABC中,侧面A
9、ACC是垂直于底面的菱形,BCAC,则AB与AC所成角的大小为.解析因为BCAC,ACAC,所以BCAC.因为平面AACC平面ABC,平面AACC平面ABC=AC,所以BC平面AACC,所以BCAC.因为四边形AACC为菱形,所以ACAC.因为BCAC=C,所以AC平面ACB,所以ACAB.所以AB与AC所成的角等于90.答案906.如图,在四边形ABCD中,AD=23,CD=2,ABC是边长为4的正三角形,把ABC沿AC折起到PAC的位置,使得平面PAC平面ACD,如图所示,O,M,N分别为AC,PA,AD的中点.(1)求证:平面PAD平面PON;(2)求三棱锥M-ANO的体积.(1)证明因
10、为PAC为正三角形,O为AC的中点,所以POAC.又平面PAC平面ACD,平面PAC平面ACD=AC,所以PO平面ACD.又AD平面ACD,所以POAD.因为AD=23,CD=2,AC=4,所以AD2+CD2=AC2,所以ADCD.又O,N分别为AC,AD的中点,所以ONCD,所以ADON.又ONPO=O,所以AD平面PON.又AD平面PAD,所以平面PAD平面PON.(2)解因为PAC是边长为4的等边三角形,所以PO=23.又PO平面ACD,M为PA的中点,所以M到平面ACD的距离d=12PO=3.因为ON为ACD的中位线,所以SAON=14SACD=1412232=32.所以VM-ANO=
11、13SAONd=13323=12.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,PAAB,ABCD,DAB=90,PA=AD,DC=2AB.求证:(1)PABC;(2)平面PBC平面PDC.证明(1)因为平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,PAAB,PA平面PAB,所以PA平面ABCD.又BC平面ABCD,所以PABC.(2)取PC的中点E,PD的中点F,连接BE,AF,EF(图略),则EFCD,EF=12CD.又ABCD,AB=12CD,所以EFAB.所以四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF.因为PA=AD,F为PD的中点,所以AFPD.由(1)知PA平面ABCD,所以PACD.又DAB=90,ABCD,所以CDAD.又PAAD=A,所以CD平面PAD,所以CDAF.又PDCD=D,所以AF平面PDC,所以BE平面PDC.又BE平面PBC,所以平面PBC平面PDC.