1、第1讲函数的图象与性质函数的定义域、值域及解析式1.(2013江西卷)函数y=ln(1-x)的定义域为(B)(A)(0,1)(B)0,1)(C)(0,1(D)0,1解析:由题意知解得0x1时,由1-log2x2,知x,即x1,所以满足f(x)2的x的取值范围是0,+).3.(2015吉安一模)若幂函数f(x)的图象经过点(3, ),则函数g(x)=+f(x)在,3上的值域为(A)(A) 2, (B) 2, (C) (0, (D)0,+)解析:设f(x)=x,因为f(x)的图象过点(3, ),所以3=,解得=-.所以f(x)=.所以函数g(x)=+f(x)=+=+,当x,3时,在x=1时,g(x
2、)取得最小值g(1)=2,在x=3时,g(x)取得最大值g(3)=+=,所以函数g(x)在x,3上的值域是2,.故选A.函数的图象及其应用4.(2015安徽“江淮十校”十一月联考)函数y=f(x)=的大致图象是(B)解析:由函数解析式可得f(x) 为偶函数,且当|x|1时,x2+y2=1(y0),因为y0,所以图象取x轴上方部分;当x1时,f(x)=,其图象在第一象限单调递减,所以选B.5.(2015广西柳州市、北海市、钦州市模拟)若f(x)+1=,当x0,1时,f(x)=x,若在区间(-1,1内g(x)=f(x)-mx-m有两个零点,则实数m的取值范围为(D)(A)0, )(B) ,+)(C
3、)0, )(D) (0,解析:当x(-1,0)时,x+1(0,1),由题意可得,f(x)=-1=-1,所以f(x)=因为g(x)=f(x)-mx-m有两个零点,所以y=f(x)与y=mx+m的图象有两个交点,两函数图象如图,结合图象可知,01时,f(x)=ln x,f(x)=,设切点A的坐标为(x1,ln x1),则=,解得x1=,故kAC=,结合图象可得,实数m的取值范围是(,).答案: (, )函数的性质及其应用7.(2015北京卷)下列函数中为偶函数的是(B)(A)y=x2sin x(B)y=x2cos x(C)y=|ln x|(D)y=2-x解析:A选项,记f(x)=x2sin x,定
4、义域为R,f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sin x=-f(x),故f(x)为奇函数;B选项,记f(x)=x2cos x,定义域为R,f(-x)=(-x)2cos(-x)=x2cos x=f(x),故f(x)为偶函数;C选项,函数y=|ln x|的定义域为(0,+),不关于原点对称,故为非奇非偶函数;D选项,记f(x)=2-x,定义域为R,f(-x)=2-(-x)=2x=,故f(x)为非奇非偶函数.故选B.8.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=.解析:由题意f(-1)=2(-1)2+1=3,又f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-
5、3.答案:-39.(2014湖南卷)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=.解析:由偶函数的定义可得f(-x)=f(x),即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,所以2ax=-ln e3x=-3x,所以a=-.答案:-10.(2015黔东南州一模)已知函数f(x)在R上满足=0(0),且对任意的实数x1x2(x10,x20)时,有0成立,如果实数t满足f(ln t)-f(1)f(1)-f(ln ),那么t的取值范围是.解析:根据已知条件及偶函数、增函数的定义可知f(x)是偶函数,且在(0,+)上是增函数,所以由f(ln t)-f(1)f(1)-f(ln )得f(l
6、n t)f(1),所以|ln t|1,-1ln t1,所以te,所以t的取值范围为,e.答案:,e11.(2015广西河池模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x0,1时,f(x)= ()1-x,则下列命题:2是函数f(x)的周期;函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;函数f(x)的最大值是1,最小值是0;当x(3,4)时,f(x)= ()x-3.其中正确命题的序号是.解析:由已知条件得f(x+2)=f(x),则f(x)是以2为周期的周期函数,所以正确.当-1x0时,0-x1,f(x)=f(-x)= ()1+x,函数y=f(
7、x)的图象如图所示,由图象知正确,不正确.当3x4时,-1x-40,f(x)=f(x-4)= ()x-3,因此正确.答案:12.(2015郑州模拟)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴;f(x+2)=-f(x);当1x1x23时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,则f(2015),f(2016),f(2017)从大到小的顺序为.解析:由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期是4,所以f(2015)=f(3),f(2016)=f(0),f(2017)=f(1).因为直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴,所以f(
8、2016)=f(0)=f(2).由1x1x23时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)f(2016)f(2015).答案:f(2017)f(2016)f(2015) 一、选择题1.(2014湖南卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(-,0)上单调递增的是(A)(A)f(x)=(B)f(x)=x2+1(C)f(x)=x3(D)f(x)=2-x解析:因为y=x2在(-,0)上是单调递减的,故y=在(-,0)上是单调递增的,又y=为偶函数,故A正确;y=x2+1在(-,0)上是单调递减的,故B错;y=x3为奇函数,故C错;y=2-x为非奇非偶函数,故D错.故选A.2.(2015湖南郴州市质监)若实数x
9、,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是(B)解析:已知等式可化为y=()|x-1|=根据指数函数的图象可知选项B正确,故选B.3.(2015福州市3月质检)已知偶函数f(x)满足:当x1,x2(0,+)时,(x1-x2)f(x1)- f(x2)0恒成立.设a=f(-4),b=f(1),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(C)(A)abc(B)bac(C)bca(D)cba解析:设x1x2,则x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即函数f(x)在(0,+)上是增函数,得f(1)f(3)f(4).又f(x)是偶函数,故f(-4)=f(4),所以bca.故选C.4.(2
10、015武汉市2月调研)若函数f(x)=在2,+)上有意义,则实数a的取值范围为(C)(A)1 (B)(1,+)(C)1,+)(D)0,+)解析:由函数f(x)在2,+)上有意义,得ax-20在2,+)上恒成立,则解得a1,故选C.5.(2015鹰潭二模)已知函数f(x)=+2015sin x在x-t,t上的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为(B)(A)0(B)4032(C)4030(D)4034解析:记g(x)=,则g(x)=2015+,记p(x)=,则p(-x)=.因为函数y=2015sin x是奇函数,它在-t,t上的最大值与最小值互为相反数,所以最大值与最小值的和为0.又因为y=20
11、15x+1是-t,t上的增函数,所以M+N=2015+2015+=4032,故选B.6.(2015河南省六市3月第一次联合调研)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示.x-10245f(x)121.521下列关于函数f(x)的命题:函数f(x)的值域为1,2;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点.其中正确命题的个数为(D)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:首先根据表格内容以及导函数图象作出函数f(x)的大致图象.观察图象可知正确,
12、错误,故选D.7.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间-5,1上的所有实根之和为(C)(A)-5(B)-6(C)-7(D)-8解析:由题意知g(x)=2+,函数f(x)的周期为2,则函数f(x),g(x)在区间-5,1上的图象如图所示.由图形可知函数f(x),g(x)在区间-5,1上的交点为A,B,C,易知点B的横坐标为-3,若设C的横坐标为t(0t1),则点A的横坐标为-4-t,所以方程f(x)=g(x)在区间-5,1上的所有实数根之和为-3+(-4-t)+t=-7.8.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(
13、a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(C)(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)解析:因为f(x)=因此可以画出其图象.设f(a)=f(b)=f(c)=k.则由图象可知y=k与y=f(x)有三个互不相等的实根时,k(0,1),即f(a)=|lg a|=-lg a=lg=k,即a=.f(b)=lg b=k,即b=10k.所以ab=10k=1.f(c)=-+6=k,所以c=12-2k.又因为k(0,1),所以c(10,12),所以abc(10,12),故选C.9.(2015开封模拟)将边长为2的等边PAB沿x轴正方向滚动,某时刻P与坐标原点重合(如图)
14、,设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),关于函数y=f(x)有下列说法: f(x)的值域为0,2;f(x)是周期函数;f(-1.9)f()f(2013).其中正确的说法个数为(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:根据题意画出顶点P(x,y)的轨迹,如图所示.轨迹是一段一段的圆弧组成的图形.从图形中可以看出,f(x)的值域为0,2,正确;f(x)是周期函数,周期为6,正确;由于f(-1.9)=f(4.1),f(2013)=f(3);而f(3)f()f()f(2013);故不正确;10.(2015山东潍坊市一模)对于实数m,n定义运算“”:mn=设f(x)=(2x-1)(x-1),且关
15、于x的方程f(x)=a恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是(A)(A) (-,0)(B) (-,0)(C) (0, )(D) (0, )解析:由2x-1x-1,得x0,此时f(x)=(2x-1)(x-1)=-(2x-1)2+2(2x-1)(x-1)-1=-2x,由2x-1x-1,得x0,此时f(x)=(2x-1)(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x,所以f(x)=(2x-1)(x-1)=作出函数的图象可得,要使方程f(x)=a(aR)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,不妨设x1x2x3,则0x2x31,且x2和x3关于x=对称,所
16、以x2+x3=2=1,则x2+x32,等号取不到,所以0x2x3.当-2x=时,解得x=-,所以-x10,因为0x2x3,所以-x1x2x30,即x1x2x3的取值范围是(-,0),故选A.二、填空题11.(2015南京市、盐城市一模)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上是单调增函数.如果实数t满足f(ln t)+f(ln)2f(1),那么t的取值范围是.解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以原不等式可变为2f(ln t)2f(1),即f(ln t)f(1),因为f(x)在区间0,+)上是单调增函数,所以|ln t|1,te.答案: (,e)12.(2015安徽卷)在平
17、面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.解析:函数y=|x-a|-1的大致图象如图所示, 所以若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,只需2a=-1,可得a=-.答案:-13.(2015江苏卷)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.解析:由|f(x)+g(x)|=1可得f(x)+g(x)=1, 即g(x)=-f(x)1,则原问题等价于函数y=g(x)与y=-f(x)+1或y=g(x)与y=-f(x)-1的图象的交点个数问题,在同一坐标系中作出y=g(x),y=-f(x)+1及
18、y=-f(x)-1的图象,如图,由图可知,函数y=g(x)的图象与函数y=-f(x)+1的图象有2个交点,与函数y=-f(x)-1的图象有2个交点,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.答案:414.(2015四川宜宾市二诊)如果y=f(x)的定义域为R,对于定义域内的任意x,存在实数a使得f(x+a)=f(-x)成立,则称此函数具有“P(a)性质”.给出下列命题:函数y=sin x具有“P(a)性质”;若奇函数y=f(x)具有“P(2)性质”,且f(1)=1,则f(2015)=1;若函数y=f(x)具有“P(4)性质”,图象关于点(1,0)成中心对称,且在(-1,0)上单调递减,则
19、y=f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(1,2)上单调递增;若不恒为零的函数y=f(x)同时具有“P(0)性质”和“P(3)性质”,则函数y=f(x)是周期函数.其中正确的是(写出所有正确命题的编号).解析:因为sin (x+)=-sin x=sin (-x),所以函数y=sin x具有“P(a)性质”,所以正确;因为奇函数y=f(x)具有“P(2)性质”,所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),周期为4,因为f(1)=1,所以f(2015)=f(3)=-f(1)=-1,所以不正确;因为函数y=f(x)具有“P(4)性质”,所以f(x+4)=f(-x),所以f(x)的图象关于x=2对称,即f(2-x)=f(2+x),因为图象关于点(1,0)成中心对称,所以f(2-x)=-f(x),即f(2+x)=-f(-x),所以得出f(x)=f(-x),f(x)为偶函数,因为图象关于点(1,0)成中心对称,且在(-1,0)上单调递减,所以图象也关于点(-1,0)成中心对称,且在(-2,-1)上单调递减,根据偶函数的对称性得出在(1,2)上单调递增,故正确;因为具有“P(0)性质”和“P(3)性质”,所以f(x)=f(-x),f(x+3)=f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,且周期为3,故正确.答案: