1、第2讲平面向量、复数平面向量的概念及线性运算1.(2015资阳市一诊)已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则(B)(A)A,B,C三点共线(B)A,B,D三点共线(C)A,C,D三点共线(D)B,C,D三点共线解析:=+=2a+6b=2(a+3b),则=2,即A,B,D三点共线,故选B.2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且ab,则|b|等于(C)(A) (B) (C)2 (D)2解析:因为ab,所以1m=2(-2),解得m=-4,所以b=(-2,-4),|b|=2.故选C.3.(2014福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内
2、任意一点,则+等于(D)(A) (B)2(C)3(D)4解析:依题意知,点M是线段AC的中点,也是线段BD的中点,所以+=2,+=2,所以+=4.故选D.4.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=,则=.解析:因为O为AC的中点,所以+=2,即=2.答案:2平面向量的数量积5.(2014山东卷)已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量a,b的夹角为,则实数m等于(B)(A)2 (B) (C)0 (D)-解析:根据平面向量的夹角公式可得=,即3+m=,两边平方并化简得6m=18,解得m=,经检验符合题意.故选B.6.(2015重庆卷)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且
3、a(2a+b),则a与b的夹角为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为a(2a+b),所以a(2a+b)=0,得到ab=-2|a|2,设a与b的夹角为,则cos =-,又0,所以=,故选C.7.(2015辽宁锦州市质检)已知向量=(2,2),=(4,1),点P在x轴上,则取最小值时P点坐标是(D)(A)(-3,0) (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(3,0)解析:设P(x,0),则=-=(x-2,-2),=-=(x-4,-1),所以=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,所以x=3时,取得最小值,此时P(3,0).故选D.8.(2015厦门质检)如图,正六边
4、形ABCDEF中,AB=2,则(-)(+)等于(D) (A)-6 (B)-2(C)2 (D)6解析:由-=,+=+=,则(-)(+)=|cos =22=6.故选D.9.(2015福建卷)已知,|=,|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于(A)(A)13(B)15(C)19(D)21解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(,0) (t0),C(0,t),P(1,4),=(-1,-4)(-1,t-4)=17-(4t+)17-22=13(当且仅当t=时,取“=” ),故的最大值为13,故选A.10.(2015湖北七市(州)3月联考)已
5、知向量=(2,m),=(1,),且向量在向量方向上的投影为1,则|=.解析:|cos=1,解得m=0.则|=2.答案:211.在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2),若ABO=90,则实数t的值为.解析:若ABO=90,即,由=-=(-3,t-2),=(-2,-2),所以=(-3,t-2)(-2,-2)=6-2t+4=0,t=5.答案:5复数的概念与运算12.(2015山西太原市模拟)已知i为虚数单位,集合A=1,2,zi,B=1,3,AB=1,2,3,4,则复数z等于(A)(A)-4i(B)4i (C)-2i(D)2i解析:由题意zi=4,所以z=-4i.故选A.13.(
6、2015贵州七校联盟第一次联考)复数z=(mR,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(A)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:由已知z=(m-4)-2(m+1)i.在复平面上对应的点如果在第一象限,则而此不等式组无解,即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.故选A.14.(2015江苏卷)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.解析:设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi,由复数相等的定义得解得或从而|z|=.答案:15.(2015天津卷)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.解析:因为(1-2i)
7、(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,所以解得a=-2.答案:-2 一、选择题1.(2014广东卷)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z等于(D)(A)-3+4i (B)-3-4i (C)3+4i (D)3-4i解析:根据复数的运算法则,z=3-4i.故选D.2.(2015河南郑州市质检)在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为(C)(A)1+2i(B)1-2i(C)-2+i(D)2+i解析:复数z=2+i,得点A对应的复数为-2+i,故选C.3.(2015安徽蚌埠市质检)若复数(2+ai)(1-i)(aR)是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为(A)(A)
8、-2(B)-1(C)1(D)2解析:(2+ai)(1-i)=(2+a)+(-2+a)i,由复数(2+ai)(1-i)(aR)是纯虚数,得2+a=0,则a=-2,故选A.4.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若zi+2=2z,则z等于(A)(A)1+i(B)1-i(C)-1+i(D)-1-i解析:设z=a+bi(a,bR),则|z|2=a2+b2,由zi+2=2z,得|z|2i+2=2(a+bi),即解得所以z=1+i.5.若向量=(2,3),=(4,7),则等于(A)(A)(-2,-4)(B)(2,4)(C)(6,10)(D)(-6,-10)解析:=+=-=(2,3)-(4,7)=(-2,-
9、4).6.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)b,则|a|等于(C)(A)1(B)2(C) (D)解析:a+c=(3,3m),若(a+c)b,则(a+c)b=3(m+1)+3m=0,得m=-,所以a=(1,-1),所以|a|=.故选C.7.(2014福建卷)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(B)(A)e1=(0,0),e2=(1,2)(B)e1=(-1,2),e2=(5,-2)(C)e1=(3,5),e2=(6,10)(D)e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析:选项A中e1+e2=(,2)(,R),不存在使(,2)=(3,2),可排
10、除选项A.选项C,D中e1e2,但与a不共线,则a不能由e1,e2表示,设(3,2)=x(-1,2)+y(5,-2)=(-x+5y,2x-2y)(x,yR),可得x=2,y=1,所以选项B中的e1,e2可把a表示出来.故选B.8.(2015河南洛阳市期末)在平面直角坐标系xy中,点与关于y轴对称.若向量a=(1,k),则满足不等式+a 0的点A(x,y)的集合为(C)(A)(x,y)|(x+1)2+y21(B)(x,y)|x2+y2k2(C)(x,y)|(x-1)2+y21(D)(x,y)|(x+1)2+y2k2解析:由A(x,y)可得B(-x,y),则=(-2x,0),不等式+a0可化为x2
11、+y2-2x0,即(x-1)2+y21,故选C.9.(2015广东惠州市一调)已知向量a与b的夹角为,定义ab为a与b的“向量积”,且ab是一个向量,它的长度|ab|=|a|b|sin ,若u=(2,0),u-v=(1,-),则|u(u+v)|等于(D)(A)4 (B)(C)6(D)2解析:由题意v=u-(u-v)=(1,),则u+v=(3,),cos=,得sin=,由定义知|u(u+v)|=|u|u+v|sin=22=2.故选D.10.如图,设向量=(3,1),=(1,3),若=+,且1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是(D)解析:设向量=(x,y),由题意得所以1,所以即即选项D
12、的形式.故选D.二、填空题11.(2014北京卷)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=.解析:|b|=.因为b=-a,所以|b|=|a|,所以|=.答案:12.(2015成都市二诊)在如图所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则的值为.解析:设e1,e2为水平方向(向左)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由c与xa+yb共线,得c=(3a+b),所以的值为.答案:13.(2014江西卷)已知单位向量e1,e2的夹角为,且cos
13、 =,若向量a=3e1-2e2,则|a|等于.解析:因为a2=(3e1-2e2)2=9-232cos +4=9,所以|a|=3.答案:314.(2015江西南昌市第一次模拟)已知三角形ABC中,AB=AC,BC=4,BAC=120,=3,若P是BC边上的动点,则的取值范围是.解析:法一设=(01),=+=+,=(+)(+)=+(+)=4-.因为01,所以044,所以-4-.法二如图所示,以BC的中点O为坐标原点,直线BC为x轴,直线AO为y轴建立平面直角坐标系, 由已知可得A(0, ),B(-2,0),C(2,0),E(1,0).设点P(x,0)(-2x2),则=(x,- ),= (1,- ),所以=x+.答案: