1、8.3简单几何体的表面积与体积第1课时棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课后训练提升1.如图,已知直三棱柱ABC-ABC的体积为1,则四棱锥C-AABB的体积是()A.13B.12C.23D.34解析因为VC-ABC=13V柱=13,所以VC-AABB=1-13=23.答案C2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是面A1B1C1D1内任意一点,则四棱锥P-ABCD的体积为()A.16B.13C.12D.23解析因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是面A1B1C1D1内任意一点,所以点P到平面ABCD的距离d=AA1=1,S正方形ABCD=11=1,所以四棱锥P-A
2、BCD的体积为VP-ABCD=13AA1S正方形ABCD=1311=13.答案B3.如图,直三棱柱ABC-ABC的体积为V,点P,Q分别在侧棱AA和CC上,AP=CQ,则四棱锥B-APQC的体积为()A.V2B.V3C.V4D.V5答案B4.正三棱锥的底面边长为a,高为66a,则此棱锥的侧面积等于()A.34a2B.32a2C.334a2D.332a2解析侧棱长为66a2+33a2=22a,斜高为22a2-a22=a2,故S侧=123aa2=34a2.答案A5.已知正六棱台的两底面边长分别为1 cm和2 cm,高是1 cm,则它的侧面积是()A.972 cm2B.97 cm2C.322 cm2
3、D.32 cm2解析作出正六棱台的一部分如图所示,由题意可知,四边形ABB1A1为等腰梯形,OO1为高,且OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm.取AB和A1B1的中点C,C1,连接OC,CC1,O1C1,则C1C为正六棱台的斜高,且四边形OO1C1C为直角梯形.根据正六棱台的性质,可得OC=32 cm,O1C1=3 cm,故CC1=OO12+(O1C1-OC)2=72 cm.又上、下底面的周长分别为c=6AB=6 cm,c=6A1B1=12 cm.故正六棱台的侧面积S正六棱台侧=12(c+c)h=12(6+12)72=972 (cm2).答案A6.如图,正方体ABCD-A1B1
4、C1D1的棱长为1,F为线段B1C上的一点,则三棱锥F-DED1的体积为.答案167.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若ABAC,AB=4 cm,AC=3 cm,AA1=5 cm,BD=2 cm,则截去的三棱锥的体积为cm3,剩余部分的体积为cm3.答案6248.如图,在三棱柱ABC-ABC中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面ECBF将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-ACB的体积)、V2的两部分,则V1V2=.解析设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AC,AB的中点,所以SAEF=14S.所以V1=13hS+
5、14S+SS4=712Sh,V2=V-V1=512Sh.所以V1V2=75.答案759.如图,已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的表面积.解如图,设正三棱锥的底面边长为a,斜高为h,取AB的中点E,连接SE,OE,则SEAB,SE=h.S侧=2S底,123ah=234a2.a=3h.SOOE,SO2+OE2=SE2,即32+363h2=h2,h=23,a=3h=6.S底=34a2=3462=93,S侧=2S底=183.S表=S侧+S底=183+93=273.10.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高.解如图,在三棱台ABC-ABC中,O,O分别为上、下底面的中心,D,D分别为BC,BC的中点,则DD是等腰梯形BCCB的高,所以S侧=312(20+30)DD=75DD.又AB=20 cm,AB=30 cm,所以上、下底面的面积之和为S上+S下=34(202+302)=3253(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD=3253,所以DD=1333 cm.又OD=3620=1033(cm),OD=3630=53(cm),所以棱台的高为OO=DD2-(OD-OD)2=13332-53-10332=43(cm).