1、章末整合提升网络构建理脉络复数专题突破启智能专题 利用复数的基本概念解题1复数实部与虚部的区分对于复数zabi(a，bR)，其中a和b分别叫做复数z的实部和虚部，一定要注意bi不是虚部如23i的实部为2，虚部为3，而不是3i.2纯虚数的理解对于复数zabi(a，bR)，当a0且b0时，叫做纯虚数，一定要注意记清“a0”是必要条件，而不是充要条件3共轭复数概念的理解当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，即zabi的共轭复数为abi(a，bR)4复数的模复数zabi(a，bR)的模为|z|.一般来说，在处理涉及复数的概念的问题时，可依据概念建立等式，然后通过解方程(组)
2、求解典例1已知复数z与(z2)28i均为纯虚数，求复数z.解析设zbi(bR，b0)，则(z2)28i(2bi)28i(4b2)(4b8)i，(z2)28i为纯虚数，4b20，且4b80.b2.z2i.规律方法先设出z的代数形式zbi(bR，b0)，然后依据概念处理专题利用复数相等的条件解题对于两个复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，我们规定：abicdi(a，b，c，dR)ac，bd.(1)根据两个复数相等的定义知，在ac，bd两式中，如果有一个不成立，那么abicdi.(2)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现把复数问题
3、实数化处理，主要根据复数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的典例2i是虚数单位，若abi(a，bR)，则ab的乘积是(B)A15B3C3D15解析因为13i，所以a1，b3，故ab3.典例3已知复数z1i，求实数a，b使az2b(a2z)2.解析z1i，az2b(a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.a，b都是实数，由az2b(a2z)2，得两式相加，整理得a26a80，解得a12，a24，对应得b11，b22.所求实数为a2，b1或a4，b2.规律方法复数问题化归为实数问题，是解决复数问题的一种重要思想方法专题复数代数形式的四
4、则运算熟记几个结论对解决问题是十分有利的：(1)i的周期性：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；(2)的周期性：令i，则3k(i)3k1，3k1(i)3k1，3k2(i)3k22(kN*)；(3)特殊结论：i，i，i，(1i)22i，i(a，bR，且bai0)典例4复数等于(D)A0B2C2iD2i解析方法1：2i.方法2：2i.典例5若z，则z2012z2016的值是_0_.解析z，z2i，z41，z2012z2016(z4)503(z4)5040.专题复数的几何意义及应用复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的加减运算的几何意义复数
5、的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题(1)复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则由减法的几何意义知|zz1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离(2)复数形式的基本轨迹|zz1|r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；|zz1|zz2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线；|zz1|zz2|2a(2a|Z1Z2|0)表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为焦点的椭圆典例6(2017北京卷)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(B)A(，1)B(，1)C(1，)D
6、(1，)解析(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，又复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，解得a1.故选B典例7已知复数z(2i)m22(1i)(mR)，当m取什么值时，复数z是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数解析由于mR，复数z可以表示为z(2i)m23m(1i)2(1i)(2m23m2)(m23m2)i.当2m23m2(m23m2)，即m0或m2时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数规律方法将复数与复平面内的向量建立联系后，与复平面上点的对应就非常容易了典例8已知关于x的方程x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)
7、若复数z满足|abi|2|z|，求z为何值时，|z|有最小值并求出最小值解析(1)将b代入题设方程，整理得(b26b9)(ab)i0，则b26b90，且ab0，解得ab3.(2)设zxyi(x，yR)，则(x3)2(y3)24(x2y2)，即(x1)2(y1)28.点Z在以(1,1)为圆心，2为半径的圆上画图可知，z1i时，|z|min.专题分类讨论思想分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学思想，在高考中占有十分重要的地位该思想在本章的很多知识中都有体现，常见的有：对复数分类的讨论、复数对应点的轨迹的讨论、一元二次方程根的讨论等典例9实数k分别为何值时，复数(1i)k2(35i)k2
8、(23i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.思路分析把复数整理成abi(a，bR)的形式，用复数分类的条件分别求解解析(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)当k25k60，即k6或k1时，该复数为实数(2)当k25k60，即k6且k1时，该复数为虚数(3)当即k4时，该复数为纯虚数(4)当即k1时，该复数为0.专题数形结合思想数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现它们的这种意义架起了联系复数与解析几何、平面几何的桥梁，使得复数
9、问题和几何问题得以相互转化涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算、点的轨迹及模的最值问题等典例10已知|z|1.(1)求|z(22i)|的最值；(2)求|zi|z1|的最大值解析(1)|z(22i)|表示单位圆上的点到点(2,2)的距离，由图(1)可知：|z(22i)|min21，|z(22i)|max21.(2)由图(2)可知AEB45，SABE|zi|z1|sin45，要使|zi|z1|取最大值，必须SABE最大，而(SABE)max(1)(2)，当zi时，|zi|z1|取最大值为2.规律方法掌握常见的复平面上的点的轨迹方程的复数表示方式，灵活运用模的几何意义及复数运算的几何
10、意义，通过数形结合，充分利用图形的直观、形象的特点，可简化对问题的处理.即时巩固一、选择题1若复数z满足(34i)z510i，其中i为虚数单位，则z的虚部为(B)A2B2C2iD2i解析由z12i知选B2若复数(bR)的实部与虚部互为相反数，则b(C)ABCD2解析i.由题意可得，解得b.故选C3(2017全国卷)复平面内表示复数zi(2i)的点位于(C)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析zi(2i)12i，复数z12i所对应的复平面内的点为Z(1，2)，位于第三象限故选C4复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z22i，则|z1|(B)A1BC2D4解析设z1abi(
11、a，bR)，则z2abi，z1z2(a2b22abi)b2a22abi2i，得|a|b|1，|z1|.二、填空题5(2019莆田二模)已知复数zm(m21)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围为_(0,1)_.解析zm(m21)i在复平面内对应的点在第四象限，解得0m1.实数m的取值范围为(0,1)，故答案为(0,1)6复数z(x2)yi(x，yR)在复平面内对应向量的模为2，则|z2|的最大值为_4_.解析在复平面内复数z(x2)yi(x，yR)对应的点的轨迹是(x2)2y24，z2(x2)yi2xyi，|z2|xyi|，|z2|的几何意义是点(x，y)到原点的距离的最大值|z2|xyi|max4.三、解答题7已知复数z(2xa)(2xa)i，x，aR.当x在(，)内变化时，试求|z|的最小值g(a)解析|z|2(2xa)2(2xa)222x22x2a(2x2x)2a2.令t2x2x，则t2，且22x22xt22.从而|z|2t22at2a22(ta)2a22，当a2，即a2时，g(a)；当a2时，g(a)|a1|.综上，g(a).
