1、九 二 面 角(15 分钟 30 分)1已知二面角 l，其中平面 的一个法向量 m(1，0，1)，平面 的一个法向量 n(0，1，1)，则二面角 l 的大小为()A60 B120C60或 120 D135【解析】选 C.cos m，n mn|m|n|12 2 12，所以m，n120，所以二面角 l 的大小为 60或 120.2如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 D1-BC-D 的大小为()A6 B4C3 D2【解析】选 B.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，因为 BC平面 DCC1D1，所以 BCDC，BCD1C，所以DCD1 是二面角 D1-BC-D 的平面角，因
2、为 DD1DC，DD1DC，所以DCD14，所以二面角 D1-BC-D 的大小为4.3如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，ABBC，且 PAABBC1，则二面角 A-PC-B 的大小是()A30 B45 C60 D90【解析】选 C.因为 P-ABC 中，PA平面 ABC，ABBC，且 PAABBC1，所以以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过点 B 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图 则 A(0，1，0)，C(1，0，0)，B(0，0，0)，P(0，1，1)，PA(0，0，1)，PB(0，1，1)，PC(1，1，1)，设平面 PAC 的法
3、向量 n(x，y，z)，则nPAz0nPCxyz0，取 x1，得 n(1，1，0)，设平面 PBC 的法向量 m(a，b，c)，则mPBbc0mPCabc0，取 b1，得 m(0，1，1)，设二面角 A-PC-B 的大小为，则 cos|mn|m|n|12 2 12，所以 60.所以二面角 A-PC-B 的大小为 60.4ABC 是正三角形，P 是ABC 所在平面外一点，PAPBPC，若 SPABSABC23，则二面角 P-AB-C 的大小为_【解析】设二面角 P-AB-C 的大小为，PAPBPC，P 在平面 ABC 上的射影 O为ABC 的中心，所以 S OAB13 S ABC，又 S PAB
4、23 S ABC.所以 cos S OABS PAB 12.所以 60.答案：60 5如图，在四面体 ABCD 中，ABACCDBD4，BC4 3，AD2.(1)证明：BCAD；(2)求二面角 A-BC-D 的大小【解析】(1)取 BC 的中点 O，连接 AO，DO，因为在四面体 ABCD 中，ABACCDBD4，所以 AOBC，DOBC，因为 AODOO，所以 BC平面 AOD，因为 AD 平面 AOD，所以 BCAD.(2)因为 AOBC，DOBC，所以AOD 是二面角 A-BC-D 的平面角，因为在四面体 ABCD 中，ABACCDBD4，BC4 3，AD2，O 是 BC 的中点，所以
5、OAOD42（2 3）2 2，所以 AOD 是等边三角形，所以AOD60，所以二面角 A-BC-D 的大小为 60.(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1正四棱锥相邻两侧面形成的二面角为，则()A一定是锐角B一定是钝角C可能是直角D可能是锐角，钝角，但不是直角【解析】选 B.如图，S-ABCD 为正四棱锥，在锐角三角形 SAB 中，过 A 作 AESB，连接 CE，可证得 AEBCEB，得 CE 垂直于 SB，则AEC 为二面角 A-SB-C 的平面角为，且 AEAB，CECB，在正方形 ABCD 中，由勾股定理得，AC2AB2CB2，所以 AC2AE2CE2，在
6、 AEC 中，由余弦定理得，cos cos AECAE2CE2AC22AECE0.所以 2，则 一定是钝角 2在 RtABC 中，ABAC 3，D 为 BC 边上一点，沿 AD 将ACD 折起，使 C 到 C处，点 C在平面 ABD 内的正投影 H 恰好在 AB 上，若 AH1，则二面角 CADB 的余弦值是()A13B 23C 33D 22【解析】选 A.如图，在 Rt ABC 中，由 ABAC 3，得 BC 6.设 BDx，则 CD 6 xCD，由 CHAB，AC 3，AH1，可得 CH 2.在 BDH 中，由 BH 3 1，BDx，DBH45，得 DH2x2(3 1)22(3 1)x 2
7、2x2 6 x 2 x42 3.在 Rt CHD 中有 DH2CH2CD2，即 x2 6 x 2 x42 3 2(6 x)2，解得 x3 2 62.即 DB3 2 62，CD 6 3 2 6232(6 2).则 S ACD12 3 32(6 2)2293 34.S ADH12 22 3 3 2 62(3 1)3 2 623 34.设二面角 CADB 的平面角为，则 cos S ADHS ACD 3 3493 3413.3如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 AA1 的中点，则平面 BEC1 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值大小为()A 22 B12 C 24 D23
8、【解析】选 D.连接 AC，则EBC1 在平面 ABCD 内的射影是ABC，设它们的面积分别为 S 和 S，所成的二面角为.设正方体的棱长为 2，则 ABBC2，BE 5，BC12 2，EC1（2 2）212 3.cos EBC1BE2BC21 EC212BEBC1 110，sin EBC1 1cos2EBC1 310，所以 S12 BEBC1sinEBC13，S12 ABBC2，cos SS 23.4在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABa，D，E 分别是 BB1，CC1 上的点，满足BCEC2BD，则平面 ABC 与平面 ADE 所成的二面角的大小为()A30 B45 C60 D75【
9、解析】选 B.由题意，连接 ED 并延长，交 CB 的延长线于点 F，连接 AF，如图，因为 BCEC2BD，所以 BD 是 CEF 的中位线，所以 BCBFABAC，所以CAF90，所以 ACAF，又因为 ABC-A1B1C1 是正三棱柱，所以EAC 即是平面 ABC 与平面 ADE 所成的二面角的平面角，又因为 ACCE，所以EAC45.二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5如图，正四面体 ABCD 的顶点 A，B，C 分别在两两垂直的三条射线 Ox，Oy，Oz 上，且 OAOBOC，则在下列结论中，正确的为()AO-A
10、BC 是正三棱锥B二面角 D-OB-A 的平面角为3C直线 AD 与直线 OB 所成角为4D直线 OD平面 ABC【解析】选 ACD.正四面体 ABCD 的顶点 A，B，C 分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz 上，在 A 中，因为 ACABBC，OAOBOC，所以 O-ABC 是正三棱锥，故 A 正确；设 OB1，则 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，D(1，1，1)，O(0，0，0)，OD(1，1，1)，OB(0，1，0)，在 B 中，设平面 OBD 的法向量 m(x，y，z)，则mOB y0mOD xyz0，取 x1，得 m(1，0，1)，平面 OAB 的法向量
11、n(0，0，1)，cos m，n|mn|m|n|12 22，二面角 D-OB-A 的平面角为4，故 B 错误；在 C 中，AD(0，1，1)，OB(0，1，0)，cos AD，OB|AD OB|AD|OB|12 22，所以直线 AD 与直线 OB 所成角为4，故 C 正确；在 D 中，AB(1，1，0)，AC(1，0，1)，OD AB 0，OD AC 0，所以 ODAB，ODAC，因为 ABACA，所以直线 OD平面 ABC，故 D 正确 6如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，BCCD12 AB2，E为 AB 中点，以 DE 为折痕把ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，
12、且 PC2 3.则()A平面 PED平面 EBCDBPCEDC二面角 P-DC-B 的大小为4DPC 与平面 PED 所成角的正切值为 2【解析】选 AC.在 A 中，四边形 EBCD 是边长为 2 的正方形，PE2，所以 PEDE，CE 2222 2 2，所以 PE2CE2PC2，所以 PECE，因为 DECEE，所以 PE平面 EBCD，因为 PE 平面 PED，所以平面 PED平面 EBCD，故 A 正确；在 B 中，因为 DEBC，BCPB，所以 BC 与 PC 不垂直，所以 PC 与 ED 不垂直，故 B 错误；在 C 中，因为 BEPE，BEDE，PEDEE，所以 BE平面 PDE
13、，因为 BECD，所以 CD平面 PDE，所以PDE 是二面角 P-DC-B 的平面角，因为 PE平面 EBCD，PEDE，所以PDE4，所以二面角 P-DC-B 的大小为4，故 C 正确；在 D 中，因为 CD平面 PDE，所以CPD 是 PC 与平面 PED 所成角，PD PC2CD2（2 3）222 2 2，所以 PC 与平面 PED 所成角的正切值为 tan CPDCDPD 22 2 22，故 D 错误 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7如图，四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形，SD平面 ABCD，SDAB，则异面直线 SB 与 AC 所成角的大小为_，二面角 S-AB-D
14、 的大小为_【解析】连接 BD，交 AC 于点 O，取 SD 的中点 M，连接 OM，AM，CM，则OMSB，所以AOM 即为异面直线 SB 与 AC 所成角 因为 SD平面 ABCD，所以ADSCDS90，因为正方形 ABCD，所以 ADCD，又 DMDM，所以 ADMCDM，所以 AMCM，因为 O 为 AC 的中点，所以 OMAC，AOM90，故异面直线 SB 与 AC 所成角的大小为 90.因为 SD平面 ABCD，所以SAD 即为二面角 S-AB-D 的平面角因为 SDABAD，所以 Rt ADS 为等腰直角三角形，所以SAD45.故二面角 S-AB-D 的大小为 45.答案：90
15、45 8如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB，AC，AA1 两两互相垂直，AA12AB2AC，M，N 分别是线段 BB1，CC1 上的点，平面 AMN 与平面 ABC 所成(锐)二面角为3，当 B1M 最小时，AMB_【解析】以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AA12AB2AC2，BMa，CNb，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，M(1，0，a)，N(0，1，b)，AM(1，0，a)，AN(0，1，b)，设平面 AMN 的法向量 n(x，y，z)，由nAM xaz0nAN ybz0，取 z1，得 n(a，b，1)，平
16、面 ABC 的法向量 m(0，0，1)，因为平面 AMN 与平面 ABC 所成(锐)二面角为3，所以 cos 3|mn|m|n|1a2b211 12，得 a2b23，所以当 B1M 最小时，BMa 最大，此时 a 3，b0，所以 tan AMBABBM 13 33，所以AMB6.答案：6 四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9在多面体 ABC-C1A1B1 中，四边形 ABB1A1 为菱形，B1BA60，平面ABB1A1平面 ABC，BC 1211B C，ACBC，ABB1C.(1)若 O 是线段 AB 的中点，证明：平面 ABC平面 B1OC；(2)求二面角 C1-AC-B 的正弦值
17、【解析】(1)连接 AB1，因为四边形 ABB1A1 为菱形，B1BA60，所以 ABB1 是等边三角形，因为 O 是线段 AB 的中点，所以 B1OAB，因为平面 ABB1A1平面 ABC，平面 ABB1A1平面 ABCAB，所以 B1O平面 ABC，因为 B1O 平面 B1OC，所以平面 ABC平面 B1OC.(2)连接 OC，因为 B1OAB，ABB1C，B1OB1CB1，所以 AB平面 B1OC，所以 ABOC，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OB1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB2，则 A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，C1(2，2，
18、3)，AC(1，1，0)，1AC(1，2，3)，设平面 C1AC 的法向量 n(x，y，z)，则1ACxy0ACx2y3z0nn，取 x 3，得 n(3，3，3)，平面 ABC 的法向量 m(0，0，1)，设二面角 C1-AC-B 的平面角为，则 cos|mn|m|n|315，sin 231()15 105.所以二面角 C1-AC-B 的正弦值为 105.10如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，BCAD，ADCD，BC2，AD3，CD 3，边 AD 上一点 E 满足 DE1.现将ABE 沿 BE 折起到A1BE 的位置，使平面 A1BE平面 BCDE，如图 2 所示(1)求证：A1CBE
19、；(2)求平面 A1BE 与平面 A1CD 所成锐二面角的余弦值【解析】(1)在图 1 中，连接 CE，由题意得 CEBCBEAEAB2.所以四边形 ABCE 是菱形，连接 AC，交 BE 于 O，则 ACBE，在图 2 中，A1OBE，OCBE，因为 A1OOCO，所以 BE平面 A1OC，因为 A1C 平面 A1OC，所以 A1CBE.(2)在图 2 中，延长 BE，CD，设 BECDG，连接 A1G，因为 G平面 A1BE，G平面 A1CD，A1平面 A1BE，A1平面 A1CD，所以 A1G 是平面 A1BE 和平面 A1CD 的交线，因为平面 A1BE平面 BCDE，OCBE，平面
20、A1BE平面 BCDEBE，所以 OC平面 A1BE，又 A1G 平面 A1BE，所以 OCA1G，作 OHA1G，垂足为 H，连接 CH，又 OHOCO，所以 A1G平面 OCH，又 CH 平面 OCH，所以 A1GCH，所以OHC 是平面 A1BE 与平面 A1CD 所成锐二面角的平面角，由(1)知，A1BE，BCE 是等边三角形，所以 OC 3，因为 GDEGCB，所以DECB GEGB 12，解得 GE2，所以 A1BA1EBEGE2，所以GA1EA1GB30，BA1G90，所以 A1BA1G，所以 OHGBA1G，所以OHBA1 OGBG 34，解得 OH32，在 Rt COH 中，
21、CH OC2OH2 394 212，所以 cos OHCOHCH 32212 217，所以平面 A1BE 与平面 A1CD 所成锐二面角的余弦值为 217.【补偿训练】如图，在半圆柱 W 中，AB 为上底面直径，DC 为下底面直径，AD 为母线，ABAD2，点 F 在AB上，点 G 在DC上，BFDG1，P 为 DC 的中点(1)求三棱锥 A-DGP 的体积；(2)求直线 AP 与直线 BF 所成角的余弦值；(3)求二面角 A-GC-D 的正切值【解析】(1)由题意知，DPG 为正三角形，DPDGPG1，所以 S DGP12 11sin 60 34，因为 AD 为圆柱的母线，所以 AD平面 D
22、CG，所以 VA-DGP13 S DGPAD 36.(2)过 F 点作圆柱的母线 FH 交DC于点 H，因为 FH 与 BC 均为圆柱的母线，所以 FHBC 且 FHBC，所以四边形 BCHF 为平行四边形，所以 FBHC 且 FBHC1，所以 PCH 为正三角形，又因为 DPG 为正三角形，所以HCPGPD60，CHGP，所以 BFCHGP，所以APG 为直线 AP 与 BF 所成的角，在 APG 中，AG 5，GP1，AP 5，所以由余弦定理知：cos APGAP2GP2AG22APGP 12 5 510，所以直线 AP 与直线 BF 所成角的余弦值为 510.(3)因为 AD平面 DCG
23、，CG 平面 DCG，所以 CGAD，又因为 CGDG，ADDGD，所以 CG平面 ADG，所以 CGAG，CGDG，因此AGD 为二面角 A-GC-D 的平面角，在 Rt ADG 中，AD2，DG1，tan AGDADDG 2，所以二面角 A-GC-D 的正切值为 2.1设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点(不含端点)，记直线 PB 与直线 AC 所成角为，直线 PB 与平面 ABC 所成角为，二面角 P-AC-B 的平面角为，则()A，B，C，D，【解析】选 B.如图，G 为 AC 中点，V 在底面 ABC 的投影为 O，则 P 在底面的投影 D 在
24、线段 AO 上，过 D 作 DE 垂直 AC 于 E，易得 PEVG，过 P 作 PFAC 交 VG 于 F，过 D 作 DHAC，交 BG 于 H，则 BPF，PBD，PED，则 cos PFPB EGPB DHPB，tan PDED PDBD tan，即.2如图所示，在ABC 中，abcos Cccos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，在四面体 P-ABC 中，S1，S2，S3，S 分别表示PAB，PBC，PCA，ABC 的面积，依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论【解析】类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为 SS1cos S2cos S3cos.证明：如图，设点 P 在底面的射影为点 O，过点 O 作 OHAB 于 H，连接 PH，OA，OB，所以PHO 就是平面 PAB 与底面 ABC 所成的二面角，即PHO，所以 S AOB12 ABOH，S112 ABPH，因为 cos OHPH S AOBS1，所以 S AOBS1cos，同理可得，SCOBS2cos，SAOCS3cos，又 SSAOBSCOBSAOC，所以 SS1cos S2cos S3cos.