1、2018-2019 学年湖南省衡阳市第八中学 高二上学期六科联赛（12 月）数学（文）试题 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1给定下列命题：全等的两个三角形面积相等；3 的倍数一定能被 6 整除；如果abac，那么bc；若a
2、b，则22ab。其中，真命题有A、B、C、D、2若运行右图的程序，则输出的结果是A4 B13C9 D223下列四个命题中，假命题为A x R，使lg0 x 成立B x R，使122x 成立Cx R，20 x 均成立Dx R，2310 xx 均成立4抛物线 的焦点到准线的距离是A B C D 5椭圆 上的一点 到左焦点 的距离为 2，是 的中点，则 为A B C D 6执行如图所示的程序框图，则输出的 z 的值是A21B32C34D647函数 的单调递减区间是A B C D 8双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于A-B-4 C4 D 9已知函数()xxf xeae为
3、偶函数，若曲线()yf x的一条切线的斜率为 32，则切点的横坐标等于Aln2B2ln 2C2D210已知抛物线 C:24xy，直线:1l y ，PA,PB 为抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A,B，则“点 P 在直线l 上”是“PA PB”的A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件11双曲线1C：22221yxab（0a，0b）的焦点为1 0,Fc、2 0,Fc，抛物线2C：214yxc的准线与1C 交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆过2F，则椭圆22221xyac的离心率的平方为A21B22C2 22D32 212设函数 ，其中 ,若存在唯一的整数，使得
4、 ，则 的取值范围是A )B )C D 二、解答题13已知函数 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（1）求函数 的单调区间；（2）求 在区间 上的最大值和最小值14已知 且 ，设命题：函数 在 上单调递减，命题：对任意实数，不等式 恒成立.（1）写出命题 的否定，并求非 为真时，实数 的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数 的取值范围.15已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同，且经过点 .（）求双曲线 的方程；（）已知双曲线 的左右焦点分别为 、，直线 经过 ，倾斜角为 ，与双曲线 交于 两点，求 的面积.16已知函数 ，（1）若 ，曲线 在点 处的切线与 轴垂
5、直，求 的值；（2）在（1）的条件下，求证 17已知椭圆 的左右顶点是双曲线 的顶点，且椭圆 的上顶点到双曲线 的渐近线的距离为 .（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与 相交于 两点，与 相交于 两点，且 ，求|的取值范围.18.已知函数 lnf xx.（1）求过点 0,1P的 f x 图象的切线方程；（2）若函数 mg xf xmxx存在两个极值点1x，2x，求m 的取值范围；（3）当1,12x时，均有 2xf xxxea恒成立，求 a 的取值范围.三、填空题19“”是“”的_条件；（填：充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件之一.）20已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右
6、顶点分别为,A B 两点，点 0,2Cb，若线段 AC 的垂直平分线过点 B，则双曲线的离心率为_21在半径为 6 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大。22已知函数|,若()(),则 的取值范围是_.2018-2019 学年湖南省衡阳市第八中学 高二上学期六科联赛（12 月）数学（文）试题 数学答 案参考答案1A【解析】试题分析：显然，只有是真命题。选 A。考点：本题主要考查命题的概念及真假判断。点评：难度不大，但综合性强，涉及知识面广。2D【解析】试题分析：根据题意，由于 A=9，那么可知 A=A+13=9+13=22，此时输出 A 的值，结束，故可知答案为 22，选 D
7、.考点：赋值语句点评：本题主要考查了赋值语句，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于基础题3D【解析】试题分析：对于 A，若1x 即满足不等式成立；对于 B，4x 时满足等式成立；对于 C，显然正确；对于 D，易知231yxx 是可令1x 显然不成立考点：量词的应用.4B【解析】【分析】根据抛物线的方程可知 ，故可写出焦点到准线的距离为 .【详解】由 可知，所以焦点到准线的距离为 .故选 B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，及其简单几何性质，属于容易题.5B【解析】根据椭圆定义|，为 的中点，则 为 的中位线，所以|，故选择 B.6B【解析】模拟执行程序框图，可得1,2,2xyz，满足条
8、件20,2,2,4zxyz；满足条件20,2,4,8zxyz；满足条件20,4,8,32zxyz；不满足条件20z，推出循环，输出 z 的值为32，故选 B7D【解析】【分析】求函数的导数，利用导数求函数的单调区间.【详解】由 ，令 可得 ，所以函数的单调递减区间为 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.8A【解析】解：9A【解析】试题分析：由函数 xxf xeae可知1a，所以 xxf xee，则 xxfxee，由32xxee得 22320 xxee，2120 xxee，解得2xe 或12xe （舍），所以ln 2x，故选 A.考点：1、函数的奇偶性；2、导
9、数的几何意义.10C【解析】（1）若 PA PB,设,P m n，切线斜率显然存在且不为0，设方程为ynk xm代入24xy中得到：224440,00 xkxkmnkmkn，所以，由韦达定理可得1PAPBk kn ，故 P 在直线l 上；（2）若 P 在直线l 上，设,1P m，切线方程为1yk xm 代入24xy，可得224440,010 xkxkmkmk ，所以1PAPBk k ，故 PAPB，“点 P 在直线l 上”是“PAPB”的充要条件，故选 C.11C【解析】抛物线2C 的方程为214yxc抛物线2C 的焦点坐标为0,c，准线方程为 yc 双曲线1C：22221yxab（0a，0b
10、）的焦点为1 0,Fc、2 0,Fc，且抛物线2C 的准线与1C 交于 M、N 两点2,bMca，2,bNca以 MN 为直径的圆过2F220MFNF，即42240bca222cab4224440cc bb，即42440bbcc22 22bc 椭圆22221xyac的离心率为22cabcc椭圆22221xyac的离心率的平方为22 22bc 故选 C.点睛：本题主要考查利用椭圆，双曲线及抛物线的简单性质求椭圆的离心率范围，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间
11、的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率的值或离心率范围，应先将e 有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的方程或不等式，从而求出e.12A【解析】【分析】设 则存在唯一的整数，使得 在直线 的下方，由此利用导数性质能求出 m 的取值范围.【详解】设 ,由题意知存在唯一的整数，使得 在直线 的下方，当 时，当 时，当 时，取最小值 ，又 ，直线 恒过定点 且斜率为 m，故 且 解得 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了导数的运用，函数的极值，涉及数形结合思想，属于中档题.13(1)的递增区间为 ，递减区间为 (2)最大值 ，最小值 【解析】分析：（1）求导数后，由 可得增区间
12、，由 可得减区间（2）根据单调性求出函数的极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值详解：（1），由 ，解得 或 ；由 ，解得 ，所以 的递增区间为 ，递减区间为 （2）由（1）知 是 的极大值点，是 的极小值点，所以 极大值 ，极小值 ()，又 ，所以 最大值 ，最小值 点睛：（1）求单调区间时，由 可得增区间，由 可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值14（1）；（2）的取值范围是(，.【解析】分析：（1）根据命题的否定的改写方法即可，非 为真，即存在实数 ,使得不等式 成立.故 即可
13、；（2）此题是由命题的真假求参数的题目，可先求出每个命题为真时的参数的取值范围，再根据命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，判断出两个命题的真假关系，从而确定出实数 c 的取值范围详解：（1）命题 的否定是：存在实数 ,使得不等式 成立.非 为真时，()，即 ，又 且 ，所以 .（2）若命题 为真，则 ，若命题 为真，则 或 ，因为命题 为真命题，为假命题，所以命题 和 一真一假，若 真 假，则 所以 ，若 假 真，则 或 ，所以 .综上：的取值范围是(，点睛：本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是理解“命题“pq”为真命题，“pq”为假命题”，进行正确转化，求出实数 c 的取值范围，解
14、答过程中能正确对两个命题中 c 的范围正确求解也很关键，本题涉及到了指数的单调性，一元二次不等式的解的情况，或命题，且命题等，综合性较强15（1）（2）【解析】试题分析：（1）由题易知，双曲线 方程为 ；（2）直线 的方程为 ，由弦长公式得|，|，所以 试题解析：（1）设所求双曲线 方程为 代入点 得 ，即 所以双曲线 方程为 ，即 .（2），.直线 的方程为 .设 联立 得 满足 由弦长公式得|点 ，到直线 的距离|.所以|16（1）b=2；（2）详见解析【解析】【分析】（1）当 时，由已知得 在 处的导数为，即可求 的值（2）要证 ，只需证 ，设 ，求导数，确定函数单调性，即可证明.【详解
15、】（1）时，所以 由题 （2）由（1）可得 只需证 设 ，令 ，得 。当 时，当 时，所以，所以，【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，运用导数证明不等式，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.17（1）；（2）.【解析】【分析】由双曲线的顶点可得 ，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 ，即可得到椭圆方程 设直线 的方程为 ，联立双曲线方程，消去，运用韦达定理和判别式大于，结合向量的数量积的坐标表示，求得，的关系式，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求【详解】（1）由题意可知：，又椭圆 的上顶点为 ，双曲线 的渐近线为：，由点到直线的距离
16、公式有：|，所以椭圆的方程为 。（2）易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，代入 ，消去 并整理得：，要与 相交于两点，则应有：设 ，则有：，.又 .又：，所以有：，将 ，代入 ，消去 并整理得：，要有两交点，则 .由有：设 、.有：，|.将 代入有：|.|,令 ,令 ,.所以 在 内恒成立，故函数 在 内单调递增，故|.【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查了渐近线方程的运用，同时考查了直线和椭圆及双曲线方程的联立，运用韦达定理和弦长公式，考查了化简整理的运算能力，有一定的难度。18(1)1yx(2)102m（3）3a 【解析】试题分析：（1）设切点坐标为00,lnxx
17、，则切线方程为001ln1yxxx，根据点 P 坐标，即可求出0 x，从而得到切线方程；（2）对 g x 求导，令 2h xmxxm，要使 g x存在两个极值点1x，2x，则方程20mxxm有两个不相等的正数根，从而只需满足 0010 2102hmhm 即可；（3）由 2xf xxxea在1,12x上恒成立可得ln2xxxexa在1,12x上恒成立，令 ln2xG xxxex，求出 G x 的单调性，可得出 G x 的最大值，即可求得a 的取值范围.试题解析：（1）由题意得，函数 f x 的定义域为0,，1fxx设切点坐标为00,lnxx，则切线方程为001ln1yxxx把点 0,1P代入切线
18、方程，得：0ln0 x，01x过点 0,1P的切线方程为：1yx（2）lnmmg xfxmxxmxxx 222221mxmxmmxxmgxmxxxx 令 2h xmxxm要使 g x 存在两个极值点1x，2x，则方程20mxxm有两个不相等的正数根.又1210 xxm，0m.故只需满足 0010 2102hmhm 即可解得：102m（3）由于 2xf xxxea在1,12x上恒成立.ln2xxxexa在1,12x上恒成立.令 ln2xG xxxex则 11211xxxGxxeexexx 当 112x 时，10 x 令 1xu xex，则 210 xuxex u x 在 1,12上单调递增又12
19、02ue，110ue 存在01,12x便得 00u x，即001xex，00lnxx 故当01,2xx时，0u x，此时 0Gx 当时0,1xx，0u x 此时 0Gx.故函数 G x 在01,2 x上递增，在0,1x上递减从而：000000000min0012ln2212xG xG xxxexxxxxxx 令 212m xxx，1,12x则 2222 1220 xmxxx m x 在上1,12x单调递增，1=-3m xm故3a .点睛：解决不等式恒成立问题的常用方法通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，即若 f xa或 g xa恒成立，只需满足 minf xa或 maxg xa即可，然后
20、利用导数方法求出 f x 的最小值或 g x 的最大值，从而问题得解19充分非必要【解析】【分析】由 可知 ，所以两边同乘以 可得 ，即 能推出 ，当 时，可得 ，推不出 ，即可知结论.【详解】由 可知 ，所以两边同乘以 可得 ，即 能推出 ,当 时，可得 ，推不出 ，所以“”是“”的充分非必要条件，故填充分非必要条件.【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，属于中档题.20102【解析】由题意可得，ABC为正三角形，则 23bc，所以双曲线的离心率21012ba.21 【解析】【分析】设圆内接等腰三角形 ABC 的底边长为 ，高为，由勾股定理可得 ，进而得到面积函数的解析式，利用导数求函数
21、单调区间，可得函数在 处取得极大值且为最大值.【详解】设圆内接等腰三角形 ABC 的底边长为 ，高为,可得 ，解得 ，故三角形面积为 ，由 ，令 得 ,即 时，S 有最大值.故填 .【点睛】本题主要考查了导数在实际问题中求最值的运用，正确求出面积函数的解析式并求导数是解题关键，属于中档题.22 【解析】【分析】先证明函数 是偶函数，再利用导数证明 在 上递增，由 是偶函数可得 在 上递减，利用对数的运算法则将原不等式化简为()，等价于|，从而可得结果.【详解】|，|，是偶函数，时，在 上递增，由 是偶函数可得 在 上递减，()()，()()化为 ()，()，等价于|，或 ，或 ，即 的取值范围是()，故答案为().【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.