1、第三讲 柯西不等式与排序不等式3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题1设ab0，Pa3b3，Qa2bab2，则P与Q的大小关系是()APQBPQCPQ DPQ解析：因为ab0，所以a2b20.因此a3b3a2bab2(排序不等式)，则PQ.答案：B2车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为()A420 元 B400 元C450 元 D570 元解析：损失最少为5(11028364554)420(元)，反序和最小答案：A3若Axxx，Bx1x2x2x3
2、xn1xnxnx1，其中x1，x2，xn都是正数，则A与B的大小关系为()AAB BABCAB DAB解析：依序列xn的各项都是正数，不妨设0x1x2xn，则x2，x3，xn，x1为序列xn的一个排列依排序原理，得x1x1x2x2xnxnx1x2x2x3xnx1，即xxxx1x2x2x3xnx1.答案：C4设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1，a2，a3，则的最小值为()A3 B6C9 D12解析：设a1a2a30，则0，由乱序和不小于反序和，知3，所以的最小值为3.答案：A5已知a，b，c(0，)，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A大于零 B大于等于零C
3、小于零 D小于等于零解析：设abc0，所以a3b3c3，根据排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.所以a4b4c4a2bcb2cac2ab，即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.答案：B二、填空题6如图所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和(填“”“”或“”)解析：阴影面积为a1b1a2b2，而空白面积为a1b2a2b1.根据顺序和反序和可知答案答案：7若c1，c2，c3是4，5，6的一个排列，则c12c23c3的最大值是_，最小值
4、是_解析：由排序不等式，顺序和最大，反序和最小所以最大值为14253632，最小值为16253428.答案：32288某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花_元，最多要花_元解析：两组数2件、4件、5件与1 元、2 元、3 元的反序和S123425119(元)顺序和S221425325(元)根据排序原理可知至少花19 元，最多花25元答案：1925三、解答题9设a1，a2，a3为正数，且a1a2a31，求的最小值解：不妨设a3a1a20，则，所以a1a2a2a3a3a1.设乱序和Sa1a2a31，顺序和S.由排序不等式
5、得a1a2a31，所以的最小值为1.10已知0(sin 2sin 2sin 2)证明：因为0，且ysin x在上为增函数，ycos x在上为减函数，所以0sin sin cos cos 0.所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)B级能力提升1已知实数abc0，且a3b3c33，则abc的最大值是()A1 B2C3 D.解析：因为abc0，知，由排序不等式，得abcabc.又(abc)2(a)2(b)2(c)2(111)3(a3b3c3)9，所以abc3.故abc3.答案：C2若a0，b0且ab1，则的最小值是_解析：不妨设ab0，则有a2b2，且.由排序不等式a2b2ab1，当且仅当ab时，等号成立所以的最小值为1.答案：13设a1，a2，an是1，2，n的一个排列求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一个排列，且c1c2且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n，所以，利用排序不等式，有.所以原不等式得证