1、高二年级考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. D分析：求出，即得抛物线的准线方程.解答：因为，所以，故准线方程为故选：D2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，C分析：利用可得，逐一检验即可得正确选项.解答：对于选项A：，故选项A不正确；对于选项B：，故选项B不正确；对于选项C：，所以，所以，故选项C 正确；对于选项D：，故选项D不正确；故选：C3. 已知双曲线，则（ ）A. 双曲线C的焦距为B. 双曲线C的虚轴长
2、是实轴长的6倍C. 双曲线与双曲线C的渐近线相同D. 直线与双曲线C有公共点C分析：根据双曲线的性质依次判断即可.解答：对A，由双曲线方程可得，则焦距为，故A错误；对B，由双曲线方程可得，故实轴长为2，虚轴长为，故虚轴长是实轴长的倍，故B错误.对C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，故C正确；对D，将代入双曲线方程可得，方程无解，故没有公共点，故D错误.故选：C.4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）A. B. C D. B分析：求出圆心到直线的距离即为半径，即可求解.解答：因为点到直线的距离是 所以圆的半径为，则圆的方程为：故选：B5. 已知空间四边形中，点M在OA上，且，N为B
3、C的中点，则等于（ ）A. B. C. D. B分析：利用空间向量的线性运算即可求解.解答：因为N为BC的中点，所以，因为，所以，所以，故选：B6. 已知四棱锥中，则点到底面的距离为（ ）A. B. C. D. D分析：先求出平面的一个法向量，然后求与法向量夹角的余弦值，利用点到面的距离公式即可求解.解答：设是平面的一个法向量，则由题设，即令，可得， ，所以 ， ，故点到平面的距离为故点到平面的距离为，故选：D点拨：方法点睛：向量方法求点到面的距离设是平面的一条斜线，是平面的一个法向量，则点到平面的距离为7. 已知数列中，则等于（ ）A. B. C. D. 2C分析：先计算出的前几项，然后分析
4、的周期性，根据周期可将转化为，结合求解出结果.解答：因为，所以所以，所以是周期为的周期数列，所以，故选：C.点拨：思路点睛：根据递推公式证明数列为周期数列的步骤：（1）先根据已知条件写出数列的前几项，直至出现数列中项循环，判断循环的项包含的项数；（2）证明，则可说明数列是周期为的数列.8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（ ）A. 4B. 2C. 2D. 3A分析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由定义可得，在中利用余弦定理可得，即可求出结果.解答：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设在第一象限，
5、根据椭圆和双曲线定义，得，由可得，又，在中，即，化简得，两边同除以，得.故选：A.点拨：关键点睛：本题考查共焦点的椭圆与双曲线的离心率问题，解题的关键是利用定义以及焦点三角形的关系列出齐次方程式进行求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9. 点在圆上，点在圆上，则（ ）A. 的最小值为0B. 的最大值为7C. 两个圆心所在的直线斜率为D. 两个圆相交弦所在直线的方程为BC分析：求出圆心坐标，求出圆心距后可判断的最大值和最小值，由圆心距判断两圆是否相交，再判断D解答：由已知，半径为，圆标准
6、方程为，则，A错；，B正确；，C正确；又，两圆相离，不相交，D错故选：BC点拨：关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，判断两圆的位置关系，一般通过圆心距与两圆半径的关系判断相离，外切，相交，内切，内含10. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（ ）A. E为的中点B. 平面C. 与所成的角为D. 三棱锥与四棱锥体积之比等于.ABD分析：采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，锥体体积公式的计算，可得结果.解答：对于A，连接交于点，连接，如图所示，/面，面，且面面，/，又四边形是正方形，为的中点，为的中点，故A正
7、确.对于B，面，面，又，面面，故B正确对于C，为与所成的角，面，面，在中，故C错误.对于D，由等体积法可得，又，故D正确.故选：ABD.点拨：本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属中档题.11. 已知数列为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的有（ ）A. B. 最小C. D. ACD分析：根据题意，由，然后逐项分析即可得解解答：解：因为数列an为等差数列，设其等差为d，由于，即，即，故A正确；当d0时，Sn没有最小值，故B错误；因为，所以，故C正确；，故D正确故选：ACD12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a0，b0)的离
8、心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）A. 双曲线C的渐近线方程为y=2xB. 双曲线C的方程为C. 为定值D. 存在点P，使得+=2BCD分析：根据双曲线C：(a0，b0)的离心率为和抛物线的准线过双曲线的左焦点，分别求得a，b，验证选项A，B.然后根据斜率公式和点p的坐标，验证选项C，D.解答：因为双曲线C：(a0，b0)的离心率为，所以，渐近线方程为，故A错误；又，则，所以双曲线方程，故B正确；因为，设，则，故C正确；，因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则
9、，所以，所以存在点P，使得+=2，故正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 设直线，直线.当_时，分析：根据两直线与垂直的等价条件是，列关系求参数即可.解答：因为两直线垂直，所以，解得.故答案为：.14. 已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_分析：利用去掉反向的情形即得解答：由，所以，解得 若与反向，则则，所以 所以与的夹角为钝角则且综上的范围是故答案为：点拨：思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由是两个非零向量，则夹角是锐角时，夹角是钝角时，反之要注意可能同向也可能反向属于中档题.15. 以抛物线的顶点为圆心的圆
10、交于两点，交的准线于两点.已知,则的焦点到准线的距离为_.4分析：设出抛物线方程，画出图形，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可抛物线的方程，根据抛物线的性质，即可求得C的焦点到准线的距离解答：设抛物线方程为，画出图形如下图所示由,及圆的性质可得,，设点A的坐标为，则，即，又，解得，抛物线的焦点到准线的距离为.故答案为4点拨：本题考查抛物线和圆的性质及计算，解题时画出图形并从图形中找到等量关系是解题的关键，同时深刻理解抛物线的定义和几何特征也是解题的关键16. 我国古代数学名著九章算术里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行
11、九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：_日相逢？9解：由题意可知：良马与驽马第 天跑的路程都是等差数列，设路程为 ，由题意有： ，故： ，满足题意时，数列 的前n项和为 ，由等差数列前n项和公式可得： ，解得： .即二马相逢，需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题.(1)解决数列应用题的基本步骤是：根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论(2)数列应用题常见模型：等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减
12、少)的量就是公差；等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，或前n项和Sn与Sn1之间的递推关系四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的，且过点.（1）求的方程；（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.（1）；（2）或.分析：（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程.（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程
13、，由此求解出直线的方程.解答：（1）直线的方程为，倾斜角，由题知所求直线的倾斜角为，即斜率为，直线经过点，所求直线方程为，即；（2）直线与平行，可设直线的方程为，即，或所求直线的方程为或点拨：本小题主要考查直线的斜率和倾斜角，考查两直线平行，考查点到直线距离公式，属于基础题.18. 已知圆的圆心在直线上，且过点（1）求圆的方程；（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.（1）；（2）或.分析：（1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程为（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.解答：（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为 过点，解得 所求圆的方程为（
14、2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为 故由点到直线的距离公式得：解得，所以直线l的方程为综上所述，则直线l的方程为或点拨：易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.19. 在,，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：已知等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，_，是否存在正
15、整数k，使得数列的前k项和？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分选k的最小值为4；选k的最小值为4；选k的最小值为3；分析：先由条件求出，得出，若选可得，则，从而，由裂项相消法求出，可得答案；若选可得，所以，一下同选；若选可得，从而，由裂项相消法求出，可得答案.解答：设等比数列的公比为，由所以，则，解得或（舍）则，所以 则若选 由，则 所以， 则 所以则 由，则，由为正整数，则 的最小值为4.若选 由，即 ，可得 所以，一下同选.若选 由，可得，即 所以 所以所以，即，也即 解得，由，又为正整数，则 的最小值为3.点拨：关键点睛：本题考查等差
16、、等比数列求通项公式和等差数列的前项和以及用裂项相消法求和，解答本题的关键是将所要求和的数列的通项公式裂成两项的差，即，注意裂项和的系数和求和时相抵消的项以及最后余下的项，属于中档题.20. 如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 （1）证明见解析；（2）.分析：（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得
17、M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果解答：（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且 由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 由已知得 取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得 ，可取所以 由已知得 所以 解得(舍去)， 所以 又 ，所以 所以与平面所成角的正弦值为点拨：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”21. “绿水
18、青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；（2）判断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？(1) (2) 是等比数列，理由见解析. (3) 至少经过6年，绿洲面积可超过60%分析：（1）由题意得化简可
19、得答案；（2）由（1）得，整理得，从而得是等比数列.（3）由（2）得，整理并在两边取常用对数可求得从而得出结论解答：（1）由题意得，所以；（2）由（1）得， 所以是等比数列.（3）由（2）有，又，所以，即；，即，两边取常用对数得：，所以，至少经过6年，绿洲面积可超过60%点拨：思路点睛：解决数列应用题时，常用解题思路是审题建模研究模型返回实际研究模型时需注意：(1) 量(多个量) ；(2) 量间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律由特殊到一般归纳总结；(3) 与通项公式有关或与前n项和有关等22. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上（l）求椭圆C的方程；（2）设动直线l过椭圆C的
20、右焦点F，且与椭圆C交于两点在x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由（1）；（2）存在点，使得恒成立分析：（1）由，再把点的坐标代入方程，然后结合解得后可得椭圆方程（2）设存在点，先分类讨论求得直线斜率为0和斜率不存在的两种特殊情形中值，然后把值代入验证直线斜率存在且不为0时的情形下也有即可：方法是设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入计算可得解答：（1）由题意，由解得，所以椭圆方程为；（2）由（1）右焦点为，假设存在定点Q，使得恒成立，当直线斜率为0时，；当直线斜率不存在时，则，解得或，由知下面证明时，恒成立，在直线斜率存在且不为0时，设方程为，直线方程代入椭圆方程得，所以，. 综上，轴上存在点，使得恒成立点拨：方法点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的存在性问题解题方法：由直线的特殊位置（斜率为0和斜率不存在的情形求出参数的值，然后证明此值对其他情形（斜率存在且斜率为不0）也满足题意设而不求思想得到体现
