1、第二章推理与证明同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过福尔摩斯探案集吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都离不开推理而证明的过程更离不开推理本章我们将学习两种基本推理合情推理与演绎推理学习数学证明的基本方法分析法、综合法、反证法等要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理自主预习探新知情景引入内经针刺篇记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次
2、不慎碰破脚趾，出了一点血，但头不疼了当时他没有注意后来头疼复发，又偶然碰破同一脚趾，头疼又好了这次引起了他的注意，以后每次头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎样的数学知识呢？新知导学1归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的_部分对象_具有某些特征，推出该类事物的_全部对象_都具有这些特征的推理，或者由_个别事实_概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称_归纳_)由两类对象具有_某些类似特征_和其中一类对象的_某些已知特征_，推出另一类对象也具有_这些特征_的推理称为类比
3、推理(简称_类比_)特征归纳推理是由_部分_到_整体_、由_个别_到_一般_的推理类比推理是由_特殊_到_特殊_的推理2合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_观察_、_分析_、比较、_联想_，再进行_归纳_、_类比_，然后提出_猜想_的推理我们把它们统称为合情推理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程预习自测1(2020周口期末)下列表述正确的是(A)归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理ABCD解析根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理故对错；由所谓演绎推
4、理是由一般到特殊的推理故对；类比推理是由特殊到特殊的推理故对错，则正确的是，故选A2鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了(B)A归纳推理B类比推理C没有推理D以上说法都不对解析推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理3等差数列an中，an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系_b4b8b5b7_.解析将乘积与和对应，再注意下标的对
5、应，有b4b8b5b7.4观察下列等式：1323(12)2,132333(123)2,13233343(1234)2，根据上述规律，第四个等式为_1323334353(12345)2_.解析由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为1323334353(12345)2.互动探究攻重难互动探究解疑命题方向归纳推理 典例1已知下列等式成立：，试根据以上几个等式，归纳出一个一般性结论，用等式表示，并用数列中的方法加以证明思路分析分析给出的各个等式左边的项数，各项的分母的
6、取值特点，分析等号右边的结果与项数的关系，从而写出一般性的结果解析从给出的各个等式可以看出：第1个等式左边有1项，右边为，第2个等式左边有2项，右边为，第3个等式左边有3项，右边为，第4个等式左边有4项，右边为，由此可以归纳出的一般性的结论为(nN*)以下用数列的方法证明该等式成立()().规律总结由已知数式进行归纳推理的步骤分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征提炼出等式(或不等式)的综合特点运用归纳推理得出一般结论跟踪练习1_观察下列不等式：11，(1)()，(1)()，(1)()，试写出第n个不等式解析第1个不等式为11，即11，第2个不等式为(1)()
7、，即(1)()，第3个不等式为(1)()，即(1)()，第4个不等式为(1)()，即(1)()，归纳可得第n个不等式为(1)()(nN*)命题方向图形中的归纳推理典例2下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖_4n8_块(用含n的代数式表示)思路分析分析给出的3个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关系，猜测一般结论解析第(1)，(2)，(3)，个图案灰色瓷砖数依次为15312,24816,351520，由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n2)(n4)n(n2)4(n2)4n8.规律总结通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般
8、性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：跟踪练习2_有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(B)A26B31C32D36解析有菱形纹的正六边形个数如下表：图案第一个第二个第三个个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B命题方向事物的相似性与类比典例3圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合这两个定义很相似于是我们猜想圆与
9、球会有某些相似的性质试将平面上的圆与空间中的球进行类比解析圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：弦截面圆，直径大圆，周长表面积，圆面积球体积，等等于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆是等圆；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于经过
10、切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心圆的周长Cd球的表面积Sd2圆的面积Sr2球的体积Vr3规律总结运用类比推理要在合适的类比对象之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等等跟踪练习3_将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性填空.平面图形空间图形点线线面圆球三角形_四面体_线线角_二面角_边长_面积_周长_表面积_面积_体积_命题方向类比推理典例4
11、如图，已知O是ABC内任意一点，连接AO、BO、CO并延长交对边分别于A、B、C，则1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”；1.请运用类比思想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明思路分析考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论解析在四面体VBCD中，任取一点O，连接VO、DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H点，则1.证明：在四面体OBCD与VBCD中，设底面BCD上的高分别为h，h，则.同理有：；，1.规
12、律总结1.类比推理的思维过程大致为：2类比推理的一般步骤：(1)通过观察、分析，找出两类事物之间的相似性或一致性(2)通过类比、联想，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(3)通过推理论证，证明结论或推翻结论一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值跟踪练习4_平面几何里有“设直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱
13、锥ABCD的三条侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，平面BCD上的高为h，则_”解析如图所示，设A在底面的射影为O，连接BO并延长交CD于E.连接AE，由ABAC，ABAD得AB平面ACD.ABAE.设AEh1，在ABE中，由已知可得.又易证CD平面ABE，CDAE.在ACD中有，.学科核心素养归纳推理在数列中的应用归纳推理具有从特殊到一般，从具体到抽象的认知功能，在求数列的通项公式或前n项和的问题中，经常用归纳推理得出关于前有限项的结论，此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一，以便于寻找规律，归纳猜想得出结论其具体步骤是：(1)通过条件求得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规
14、律，猜测数列的通项公式典例5已知数列an满足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项an的表达式思路分析解析(1)已知a11，an12an1，则a22113，a32317，a427115，a5215131.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜想出an2n1(nN*)规律总结(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论(2)解决
15、数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2,3,4，然后求得a1，a2，a3，a4，的值或S1，S2，S3，S4，的值，根据这些结果进行归纳得到结果跟踪练习5_已知a13，an1a(n1,2，)，试通过归纳推理得出数列an的通项公式，并给出证明解析由a13，an1a，得a232，a3(32)2322，a4(322)2323，a5(323)2324，an32n1(n1,2，)证明如下：由条件知an0，于是lgan1lga2lgan(n1,2，)又因为lga10，故lgan是以2为公比的等比数列，进而得lgan2n1lg3lg32n1，即an32n1(n1,2，)易混易错警示因类
16、比不当致误典例6在下列类比推理中，正确的有_.把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogay；把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sinxsiny.把实数a，b满足：“若ab0，b0，则a0”类比平面向量的数量积，“若ab0，b0，则a0”平面上，“在ABC中，ACB的平分线CE将三角形分成两部分的面积比”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB，且与AB交于点E，则平面DEC将三棱锥分成两部分的体积比”错解.辨析没有抓住类比推理的实质正解中，loga(xy)与sin(xy)都是一个整体，而a(bc)中a与bc是两个各自独立的部分，它们之间没有可类比性；中由a，b两数的积，类比到a，b两向量的数量积，类比形式正确，但类比结论错误；中，将平面上直线将三角形分成两部分的面积比、类比到空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比，将角的两边，类比到二面角的两个面，类比形式正确，易证类比结论也是正确的点评进行类比推理时，要从其形式、结构、维数等类似特征入手，要抓住本质属性中相似或相同之处作类比