1、第3讲导数及其应用1(2015湖南)设函数f(x)ln(1x)ln(1x),则f(x)是()A奇函数,且在(0,1)上是增函数B奇函数,且在(0,1)上是减函数C偶函数,且在(0,1)上是增函数D偶函数,且在(0,1)上是减函数2(2014课标全国)已知函数f(x)ax33x21,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()A(2,) B(,2)C(1,) D(,1)3(2014辽宁)当x2,1时,不等式ax3x24x30恒成立,则实数a的取值范围是()A5,3 B6,C6,2 D4,34(2013安徽)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1,x2.若f(x1)x10
2、)与曲线C2:x2y2的一个公共点,若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是_热点二利用导数研究函数的单调性1f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)x3在(,)上单调递增,但f(x)0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f(x)0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性例2(2015重庆)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在3,)上为减函数,求a的取值范围思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤:(1)确定函数的定
3、义域;(2)求导函数f(x);(3)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例3设函数f(x)px2ln x,g(x),其中p0.(1)若f(x)在其定义域内是单调增函数,求实数p的取值范围;(2)若在1,e上存在点x0,使得f(x0)g(x0)成立,求实数p的取值范围;(3)若在1,e上存在点x1,x2,使得f(x1)
4、g(x2)成立,求实数p的取值范围思维升华(1)求函数f(x)的极值,则先求方程f(x)0的根,再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a,b的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练3已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若x1是函数yf(x)的极值点,求a的值;(2)若f(x)0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围1已知曲线yln x的切线过原点,则此切线的斜率为()Ae BeC. D2已知函数f
5、(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10,则的值为()A B2C2或 D2或3已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数,函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数,则a的值等于_4已知函数f(x)x,g(x)x22ax4,若任意x10,1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是_提醒:完成作业专题二第3讲二轮专题强化练专题二 第3讲导数及其应用A组专题通关1.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示,则yf(x)的图象可能为()2(2015云南第一次检测)函数f(x)的图象在点(1,2)处的切线方程为()A2xy40 B2xy0Cxy30
6、Dxy103(2015福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()Af BfCf Df4设f(x)x3ax25x6在区间1,3上为单调函数,则实数a的取值范围为()A,)B(,3C(,3,)D,5已知aln x对任意x,2恒成立,则a的最大值为()A0 B1 C2 D36(2015陕西)函数yxex在其极值点处的切线方程为_7若函数f(x)在x(2,)上单调递减,则实数a的取值范围是_8已知函数f(x)4ln xax26xb(a,b为常数),且x2为f(x)的一个极值点,则a的值为_9(2015重庆)已知函数f(x)ax3x2(
7、aR)在x处取得极值(1)确定a的值;(2)若g(x)f(x)ex,讨论g(x)的单调性10已知函数f(x)ln x,x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值;(2)若f(x)3)上的最小值;(3)若对x2,kf(x)g(x)恒成立,求实数k的取值范围学生用书答案精析第3讲导数及其应用高考真题体验1A易知函数定义域为(1,1),又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x),故函数f(x)为奇函数,又f(x)lnln,由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数故选A.2Bf(x)3ax26x,当a3时,f(x)9x26x3x(3x2),则当x(,0)时,f(x)0;x(0,)时,f
8、(x)0,注意f(0)1,f()0,则f(x)的大致图象如图1所示不符合题意,排除A、C.图1当a时,f(x)4x26x2x(2x3),则当x(,)时,f(x)0,x(0,)时,f(x)0,(x)在(0,1上递增,(x)max(1)6,a6.当x2,0)时,a,amin.仍设(x),(x).当x2,1)时,(x)0.当x1时,(x)有极小值,即为最小值而(x)min(1)2,a2.综上知6a2.4Af(x)3x22axb;由已知x1,x2是方程3x22axb0的不同两根,当f(x1)x10),得a4.例2解(1)对f(x)求导得f(x),因为f(x)在x0处取得极值,所以f(0)0,即a0.当
9、a0时,f(x),f(x),故f(1),f(1),从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y(x1),化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa,由g(x)0,解得x1,x2.当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数由f(x)在3,)上为减函数,知x23,解得a,故a的取值范围为.跟踪演练2(1)B(2)(,)解析(1)由题意知,函数的定义域为(0,),又由f(x)x0,解得00,解得a.所以a的取值范围是(,)例3解(1)f
10、(x)的定义域为(0,),f(x)p.由条件知f(x)0在(0,)内恒成立,即p恒成立而1,当x1时等号成立,即的最大值为1,所以p1,即实数p的取值范围是1,)(2)设h(x)f(x)g(x),则已知等价于h(x)0在1,e上有解,即等价于h(x)在1,e上的最大值大于0.因为h(x)p0,所以h(x)在1,e上是增函数,所以h(x)maxh(e)pe40,解得p.所以实数p的取值范围是(,)(3)已知条件等价于f(x)maxg(x)min.当p1时,由(1)知f(x)在1,e上是增函数,所以f(x)maxf(e)pe2.当0p0.综上可知,应用pe22,解得p.所以实数p的取值范围是(,)
11、跟踪演练3解(1)函数的定义域为(0,),f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点,所以f(1)1a2a20,解得a(舍去)或a1.经检验,当a1时,x1是函数yf(x)的极值点,所以a1.(2)当a0时,f(x)ln x,显然在定义域内不满足f(x)0时,令f(x)0,得x1(舍去),x2,所以f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,)(,)f(x)0f(x)极大值所以f(x)maxf()ln 1.综上可得a的取值范围是(1,)高考押题精练1Cyf(x)ln x的定义域为(0,),设切点为(x0,y0),则切线斜率kf(x0).切线方程为yy0(xx0),又切线过点(0,0),代入切线
12、方程得y01,则x0e,k.2A由题意知f(x)3x22axb,f(1)0,f(1)10,即解得或经检验满足题意,故.32解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数,1,得a2.又g(x)2x,依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立,得2x2a在x(1,2)上恒成立,有a2,a2.4.解析由于f(x)10,因此函数f(x)在0,1上单调递增,所以x0,1时,f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2,使得g(x)x22ax41,即x22ax50,即a能成立,令h(x),则要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函数h(x)在x1,2上单调递减,所以h(x)min
13、h(2),故只需a.二轮专题强化练答案精析第3讲导数及其应用1C根据f(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降,排除A、D;从适合f(x)0的点可以排除B.2Cf(x),则f(1)1,故该切线方程为y(2)x1,即xy30.3C导函数f(x)满足f(x)k1,f(x)k0,k10,0,可构造函数g(x)f(x)kx,可得g(x)0,故g(x)在R上为增函数,f(0)1,g(0)1,gg(0),f1,f,选项C错误,故选C.4Cf(x)x22ax5,当f(x)在1,3上单调递减时,由得a3;当f(x)在1,3上单调递增时,f(x)0恒成立,则有4a2450或或得a,)综上a的取值范
14、围为(,3,),故选C.5A令f(x)ln x,则f(x),当x,1)时,f(x)0,f(x)在,1上单调递减,在1,2上单调递增,f(x)minf(1)0,a0.6y解析设yf(x)xex,令yexxexex(1x)0,得x1.当x1时,y0;当x1时,y0,故x1为函数f(x)的极值点,切线斜率为0,又f(1)e1,故切点坐标为,切线方程为y0(x1),即y.7a解析f(x),令f(x)0,即2a10,解得a.81解析由题意知,函数f(x)的定义域为(0,),f(x)2ax6,f(2)24a60,即a1.9解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x,因为f(x)在x处取得极值,所以f0,
15、即3a20,解得a.(2)由(1)得g(x)ex,故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0,解得x0,x1或x4.当x4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当4x1时,g(x)0,故g(x)为增函数;当1x0时,g(x)0,故g(x)为减函数;当x0时,g(x)0,故g(x)为增函数综上知g(x)在(,4)和(1,0)内为减函数,在(4,1)和(0,)内为增函数10解(1)函数f(x)ln x,f(x),令f(x)0得x2,x1,3,当1x2时,f(x)0;当2x0;f(x)在(1,2)上是单调减函数,在(2,3)上是单调增函数,f(x)在x2处取得极小值f(2)ln 2;又
16、f(1),f(3)ln 3,ln 31,(ln 3)ln 310,f(1)f(3),x1时f(x)的最大值为,x2时函数取得最小值为ln 2.(2)由(1)知当x1,3时,f(x),故对任意x1,3,f(x)对任意t0,2恒成立,即at恒成立,记g(t)at,t0,2解得a0),问题转化为a在(0,)上有两个实数解设g(x),则g(x).所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,g(x)在x1处取得极大值也是最大值,即g(x)maxg(1).注意g()0,当x1时,g(x)0,则g(x)的大致图象如图所示由图象易知0a0得x2,由f(x)0得x3,t12.当3t0得ex,xln;由F(x)0得xln,F(x)在(,ln)单调递减,在ln,)单调递增当lne2时,F(x)在2,)单调递增,F(x)minF(2)2ke22(e2k)2,即1k0,满足F(x)min0.综上所述,满足题意的k的取值范围为1,e2